Номер 1258, страница 303 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1258. Две бригады, работая вместе, могут отремонтировать шоссе за 18 рабочих дней. Если первая бригада, работая одна, выполнит $\frac{2}{3}$ всей работы, а вторая бригада — оставшуюся часть, то на ремонт шоссе понадобится 40 дней. За сколько дней каждая бригада, работая отдельно, может выполнить всю работу?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество дней, за которое первая бригада может выполнить всю работу, работая самостоятельно, а $y$ — количество дней, за которое вторая бригада выполнит всю работу, работая самостоятельно.

Тогда производительность (часть работы, выполняемая за один день) первой бригады равна $\frac{1}{x}$, а производительность второй бригады — $\frac{1}{y}$. Всю работу примем за 1.

Из первого условия известно, что две бригады, работая вместе, могут отремонтировать шоссе за 18 рабочих дней. Их совместная производительность составляет $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Следовательно, мы можем составить первое уравнение:

$18 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1$

Отсюда получаем:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{18}$

Из второго условия известно, что если первая бригада выполнит $\frac{2}{3}$ всей работы, а вторая — оставшуюся часть, то на весь ремонт понадобится 40 дней.

Время, которое первая бригада затратит на выполнение $\frac{2}{3}$ работы, равно:$t_1 = \frac{\text{объем работы}}{\text{производительность}} = \frac{2/3}{1/x} = \frac{2x}{3}$ дней.

Вторая бригада выполнит оставшуюся часть работы, которая составляет $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Время, которое вторая бригада затратит на выполнение $\frac{1}{3}$ работы, равно:$t_2 = \frac{1/3}{1/y} = \frac{y}{3}$ дней.

Общее время работы составляет 40 дней, поэтому:$t_1 + t_2 = 40$

$\frac{2x}{3} + \frac{y}{3} = 40$

Умножим обе части этого уравнения на 3, чтобы упростить его:$2x + y = 120$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{18} \\ 2x + y = 120 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:$y = 120 - 2x$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{120 - 2x} = \frac{1}{18}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{120 - 2x + x}{x(120 - 2x)} = \frac{1}{18}$

$\frac{120 - x}{120x - 2x^2} = \frac{1}{18}$

Используя свойство пропорции, получим:

$18(120 - x) = 120x - 2x^2$

$2160 - 18x = 120x - 2x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - 120x - 18x + 2160 = 0$

$2x^2 - 138x + 2160 = 0$

Разделим все уравнение на 2:

$x^2 - 69x + 1080 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-69)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1080 = 4761 - 4320 = 441$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$.

Найдем корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{69 + 21}{2} = \frac{90}{2} = 45$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{69 - 21}{2} = \frac{48}{2} = 24$

Оба корня являются положительными числами, поэтому оба могут быть решением. Найдем соответствующие значения для $y$ для каждого случая, используя формулу $y = 120 - 2x$.

1. Если $x_1 = 45$, то $y_1 = 120 - 2 \cdot 45 = 120 - 90 = 30$.

2. Если $x_2 = 24$, то $y_2 = 120 - 2 \cdot 24 = 120 - 48 = 72$.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: существует два варианта: первая бригада может выполнить всю работу за 45 дней, а вторая — за 30 дней; либо первая бригада может выполнить работу за 24 дня, а вторая — за 72 дня.