Номер 1261, страница 303 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1261. Теплоход за 10 ч может пройти 110 км по течению и 70 км против течения реки или 88 км по течению и 84 км против течения реки. Определите скорость теплохода относительно воды и скорость течения реки.

Пусть $v_т$ — скорость теплохода относительно воды (собственная скорость) в км/ч, а $v_р$ — скорость течения реки в км/ч.

Тогда скорость теплохода по течению реки составляет $v_{по} = v_т + v_р$ км/ч, а скорость против течения реки — $v_{против} = v_т - v_р$ км/ч.

Время движения находится по формуле $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость. Исходя из условий задачи, можно составить систему уравнений, так как в обоих случаях общее время в пути составляет 10 часов.

Первое условие: 110 км по течению и 70 км против течения за 10 часов.
Уравнение 1: $ \frac{110}{v_т + v_р} + \frac{70}{v_т - v_р} = 10 $

Второе условие: 88 км по течению и 84 км против течения за 10 часов.
Уравнение 2: $ \frac{88}{v_т + v_р} + \frac{84}{v_т - v_р} = 10 $

Для решения системы введем новые переменные: пусть $x = v_т + v_р$ и $y = v_т - v_р$. Система уравнений примет вид: $$ \begin{cases} \frac{110}{x} + \frac{70}{y} = 10 \\ \frac{88}{x} + \frac{84}{y} = 10 \end{cases} $$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 5, чтобы уравнять коэффициенты при переменной $1/x$:
$4 \cdot (\frac{110}{x} + \frac{70}{y}) = 4 \cdot 10 \implies \frac{440}{x} + \frac{280}{y} = 40$
$5 \cdot (\frac{88}{x} + \frac{84}{y}) = 5 \cdot 10 \implies \frac{440}{x} + \frac{420}{y} = 50$

Теперь вычтем из второго полученного уравнения первое:
$(\frac{440}{x} + \frac{420}{y}) - (\frac{440}{x} + \frac{280}{y}) = 50 - 40$
$\frac{140}{y} = 10$
$y = 14$

Подставим значение $y=14$ в первое исходное уравнение системы $\frac{110}{x} + \frac{70}{y} = 10$:
$\frac{110}{x} + \frac{70}{14} = 10$
$\frac{110}{x} + 5 = 10$
$\frac{110}{x} = 5$
$x = \frac{110}{5} = 22$

Мы нашли скорости по течению и против течения:
Скорость по течению: $x = v_т + v_р = 22$ км/ч.
Скорость против течения: $y = v_т - v_р = 14$ км/ч.

Теперь решим систему для нахождения $v_т$ и $v_р$: $$ \begin{cases} v_т + v_р = 22 \\ v_т - v_р = 14 \end{cases} $$ Сложив два уравнения, получим:
$2v_т = 36 \implies v_т = 18$ км/ч.
Подставив значение $v_т$ в первое уравнение, найдем $v_р$:
$18 + v_р = 22 \implies v_р = 4$ км/ч.

Проверим найденные значения:
1. $\frac{110}{22} + \frac{70}{14} = 5 + 5 = 10$ часов.
2. $\frac{88}{22} + \frac{84}{14} = 4 + 6 = 10$ часов.
Оба условия выполняются.

Ответ: скорость теплохода относительно воды составляет 18 км/ч, а скорость течения реки — 4 км/ч.