Номер 1267, страница 304 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1267. a) На лугу растёт трава. 20 коров съедят всю траву за 21 день, а 30 коров — за 7 дней. За сколько дней всю траву на лугу могли бы съесть 22 коровы?

б) На лугу растёт трава. 6 коров съедят всю траву за 6 дней, а 7 коров — за 4 дня. Сколько коров могли бы съесть всю траву на лугу за 2 дня?

в) На лугу растёт трава. 60 коров могли бы прокормиться на этом лугу в течение 14 дней, а 50 коров — в течение 28 дней. Сколько коров могли бы пастись на этом лугу постоянно, пока растёт трава?

Эти задачи решаются с помощью системы уравнений. Введем следующие переменные:

• $V$ — первоначальный запас травы на лугу (в условных единицах, например, в порциях, которые одна корова съедает за день).
• $p$ — скорость роста травы (в тех же порциях в день).
• $n$ — количество коров.
• $d$ — количество дней.

Количество травы, которое съедят $n$ коров за $d$ дней, равно $n \times d$. Количество травы, доступное на лугу за $d$ дней, складывается из первоначального запаса $V$ и травы, выросшей за это время, то есть $p \times d$. Таким образом, основное уравнение, связывающее эти величины, имеет вид: $n \times d = V + p \times d$

а)

Используя данные из условия, составим систему из двух уравнений:

1. 20 коров съедают всю траву за 21 день: $20 \times 21 = V + p \times 21 \implies 420 = V + 21p$

2. 30 коров съедают всю траву за 7 дней: $30 \times 7 = V + p \times 7 \implies 210 = V + 7p$

Теперь решим эту систему. Вычтем второе уравнение из первого: $(420 - 210) = (V + 21p) - (V + 7p)$ $210 = 14p$ $p = \frac{210}{14} = 15$

Скорость роста травы составляет 15 порций в день. Подставим это значение в любое из уравнений, чтобы найти $V$. Например, во второе: $210 = V + 7 \times 15$ $210 = V + 105$ $V = 210 - 105 = 105$

Начальный запас травы равен 105 порциям. Теперь найдем, за сколько дней ($d_3$) 22 коровы съедят всю траву: $22 \times d_3 = V + p \times d_3$ $22d_3 = 105 + 15d_3$ $22d_3 - 15d_3 = 105$ $7d_3 = 105$ $d_3 = \frac{105}{7} = 15$

Ответ: 22 коровы съедят всю траву за 15 дней.

б)

Аналогично пункту а), составим систему уравнений на основе данных:

1. 6 коров съедают траву за 6 дней: $6 \times 6 = V + p \times 6 \implies 36 = V + 6p$

2. 7 коров съедают траву за 4 дня: $7 \times 4 = V + p \times 4 \implies 28 = V + 4p$

Вычтем второе уравнение из первого для нахождения $p$: $(36 - 28) = (V + 6p) - (V + 4p)$ $8 = 2p$ $p = 4$

Скорость роста травы — 4 порции в день. Найдем начальный запас травы $V$, подставив $p$ во второе уравнение: $28 = V + 4 \times 4$ $28 = V + 16$ $V = 28 - 16 = 12$

Начальный запас травы — 12 порций. Теперь найдем, сколько коров ($n_3$) съедят всю траву за 2 дня: $n_3 \times 2 = V + p \times 2$ $2n_3 = 12 + 4 \times 2$ $2n_3 = 12 + 8$ $2n_3 = 20$ $n_3 = \frac{20}{2} = 10$

Ответ: 10 коров съедят всю траву за 2 дня.

в)

Составим систему уравнений для этого случая:

1. 60 коров кормятся 14 дней: $60 \times 14 = V + p \times 14 \implies 840 = V + 14p$

2. 50 коров кормятся 28 дней: $50 \times 28 = V + p \times 28 \implies 1400 = V + 28p$

Чтобы решить эту систему, можно умножить первое уравнение на 2: $2 \times 840 = 2 \times (V + 14p) \implies 1680 = 2V + 28p$

Теперь вычтем второе исходное уравнение из этого нового уравнения: $(1680 - 1400) = (2V + 28p) - (V + 28p)$ $280 = V$

Начальный запас травы равен 280 порциям. Подставим $V$ в первое уравнение, чтобы найти $p$: $840 = 280 + 14p$ $840 - 280 = 14p$ $560 = 14p$ $p = \frac{560}{14} = 40$

Вопрос заключается в том, сколько коров могут пастись на лугу постоянно. Это означает, что коровы должны съедать траву с той же скоростью, с которой она растет, не затрагивая первоначальный запас. Таким образом, количество съеденной травы в день должно быть равно количеству выросшей травы в день.

Количество коров $n_{пост}$ должно быть равно скорости роста травы $p$. $n_{пост} = p = 40$

Ответ: 40 коров могли бы пастись на этом лугу постоянно.