Номер 3, страница 305 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1) Вычислите $2 : 2.25 \cdot \frac{9}{32} - \frac{30}{103} \cdot \left( \frac{2}{15} + 1\frac{7}{12} \right)$.

2) Упростите выражение $\frac{x + 2}{x + 1} + \frac{x - 2}{1 - x} - \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$.

3) Постройте график функции $y = \frac{1}{3}x + 1$. Определите, при каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения.

4) Площадь прямоугольника равна 4 дм$^2$, а периметр равен 17 дм. Определите стороны прямоугольника.

1) Решим по действиям. Сначала выполним действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в конце вычитание.

1. Сначала выполним сложение в скобках. Для этого представим смешанное число в виде неправильной дроби и приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{2}{15} + 1\frac{7}{12} = \frac{2}{15} + \frac{19}{12} = \frac{2 \cdot 4}{60} + \frac{19 \cdot 5}{60} = \frac{8}{60} + \frac{95}{60} = \frac{103}{60}$.

2. Теперь выполним умножение с результатом из первого действия:
$\frac{30}{103} \cdot \frac{103}{60} = \frac{30 \cdot 103}{103 \cdot 60} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}$.

3. Выполним действия в первой части выражения. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $2,25 = 2\frac{25}{100} = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.
$2 : 2,25 \cdot \frac{9}{32} = 2 : \frac{9}{4} \cdot \frac{9}{32} = (2 \cdot \frac{4}{9}) \cdot \frac{9}{32} = \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{32} = \frac{8 \cdot 9}{9 \cdot 32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.

4. Выполним вычитание:
$\frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

2) Для упрощения выражения приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что $1-x = -(x-1)$ и $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.
$\frac{x+2}{x+1} + \frac{x-2}{1-x} - \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{x+2}{x+1} - \frac{x-2}{x-1} - \frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}$.
Общий знаменатель: $(x-1)(x+1)$.
$\frac{(x+2)(x-1)}{(x+1)(x-1)} - \frac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x+2)(x-1) - (x-2)(x+1) - (x^2+1)}{(x-1)(x+1)}$.
Раскроем скобки в числителе:
$(x^2 - x + 2x - 2) - (x^2 + x - 2x - 2) - (x^2+1) = (x^2+x-2) - (x^2-x-2) - x^2 - 1 = x^2+x-2-x^2+x+2-x^2-1$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(x^2-x^2-x^2) + (x+x) + (-2+2-1) = -x^2+2x-1$.
Выражение принимает вид:
$\frac{-x^2+2x-1}{x^2-1} = \frac{-(x^2-2x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{-(x-1)^2}{(x-1)(x+1)}$.
Сократим дробь на $(x-1)$ (при $x \neq 1$):
$\frac{-(x-1)}{x+1} = \frac{1-x}{x+1}$.

Ответ: $\frac{1-x}{x+1}$.

3) Функция $y = \frac{1}{3}x + 1$ является линейной, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек.
Найдем координаты двух точек, принадлежащих графику:
1. Если $x=0$, то $y = \frac{1}{3} \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
2. Если $x=3$, то $y = \frac{1}{3} \cdot 3 + 1 = 1+1=2$. Получаем точку $(3, 2)$.
Проведя прямую через точки $(0, 1)$ и $(3, 2)$, получим график данной функции.
Чтобы определить, при каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $y < 0$:
$\frac{1}{3}x + 1 < 0$
$\frac{1}{3}x < -1$
$x < -3$.

Ответ: график функции — прямая, проходящая, например, через точки $(0, 1)$ и $(3, 2)$; функция принимает отрицательные значения при $x \in (-\infty; -3)$.

4) Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$ в дециметрах.
Площадь прямоугольника $S = a \cdot b$. По условию $S = 4$ дм², значит, $a \cdot b = 4$.
Периметр прямоугольника $P = 2(a+b)$. По условию $P = 17$ дм, значит, $2(a+b) = 17$, или $a+b = \frac{17}{2} = 8,5$.
Получаем систему уравнений:
$a \cdot b = 4$
$a+b = 8,5$
Из второго уравнения выразим $b = 8,5 - a$ и подставим в первое:
$a(8,5 - a) = 4$
$8,5a - a^2 = 4$
$a^2 - 8,5a + 4 = 0$
Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим уравнение на 2:
$2a^2 - 17a + 8 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 289 - 64 = 225 = 15^2$
$a_1 = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{17 - 15}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$
$a_2 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{17 + 15}{4} = \frac{32}{4} = 8$
Если одна сторона $a_1=0,5$ дм, то вторая сторона $b_1 = 8,5 - 0,5 = 8$ дм.
Если одна сторона $a_2=8$ дм, то вторая сторона $b_2 = 8,5 - 8 = 0,5$ дм.
В обоих случаях получаем одни и те же стороны.

Ответ: стороны прямоугольника равны 0,5 дм и 8 дм.