Номер 1266, страница 304 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1266. Проливной дождь лил несколько часов подряд. Когда он наполнил некоторую часть открытого бассейна, включили насос для откачки воды. Он откачал воду за 5 ч, на протяжении которых дождь продолжал лить. Если бы вместо первого насоса включили второй, мощность которого в 2 раза больше, то он откачал бы воду за 2 ч. За сколько часов откачали бы воду два насоса при совместной работе? Считайте процессы наполнения бассейна и откачки воды равномерными.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $V$ — начальный объем воды в бассейне в момент включения насоса.
• $v_1$ — производительность (скорость откачки) первого насоса (объем/час).
• $v_2$ — производительность второго насоса (объем/час).
• $v_д$ — скорость, с которой дождь наполняет бассейн (объем/час).

По условию задачи, все процессы равномерны, а мощность второго насоса в 2 раза больше мощности первого, следовательно, $v_2 = 2v_1$.

Когда насос работает, он борется как с уже имеющейся водой, так и с той, что добавляет дождь. Результирующая скорость откачки равна разности между производительностью насоса и скоростью наполнения от дождя.

1. Работа первого насоса.

Первый насос откачал всю воду за 5 часов. Это означает, что за 5 часов был откачан начальный объем $V$. Результирующая скорость откачки для первого насоса составляет $(v_1 - v_д)$. Таким образом, можно составить уравнение:

$(v_1 - v_д) \cdot 5 = V$

2. Работа второго насоса.

Если бы включили второй насос, он бы справился за 2 часа. Его производительность $v_2 = 2v_1$. Результирующая скорость откачки для второго насоса составляет $(v_2 - v_д)$ или $(2v_1 - v_д)$. Составим второе уравнение:

$(2v_1 - v_д) \cdot 2 = V$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений. Приравняем их правые части, так как в обоих случаях откачивается один и тот же начальный объем $V$:

$(v_1 - v_д) \cdot 5 = (2v_1 - v_д) \cdot 2$

Раскроем скобки:

$5v_1 - 5v_д = 4v_1 - 2v_д$

Соберем переменные $v_1$ в одной части, а $v_д$ — в другой:

$5v_1 - 4v_1 = 5v_д - 2v_д$

$v_1 = 3v_д$

Это означает, что производительность первого насоса в 3 раза больше скорости наполнения бассейна дождем.

Теперь выразим объем $V$ через одну из переменных, например, через $v_д$. Подставим $v_1 = 3v_д$ в первое уравнение:

$(3v_д - v_д) \cdot 5 = V$

$2v_д \cdot 5 = V$

$V = 10v_д$

Итак, мы выразили все величины через скорость дождя $v_д$:

• Начальный объем воды: $V = 10v_д$
• Производительность первого насоса: $v_1 = 3v_д$
• Производительность второго насоса: $v_2 = 2v_1 = 2(3v_д) = 6v_д$

4. Совместная работа двух насосов.

Найдем, за какое время $t$ два насоса откачают воду, работая вместе. Их суммарная производительность равна:

$v_{1+2} = v_1 + v_2 = 3v_д + 6v_д = 9v_д$

Результирующая скорость откачки при совместной работе (с учетом продолжающегося дождя) будет:

$v_{рез} = v_{1+2} - v_д = 9v_д - v_д = 8v_д$

Чтобы откачать начальный объем $V$ с результирующей скоростью $v_{рез}$, потребуется время $t$, которое можно найти из уравнения:

$v_{рез} \cdot t = V$

Подставим известные нам выражения:

$8v_д \cdot t = 10v_д$

Сократим на $v_д$ (так как скорость дождя не равна нулю):

$8t = 10$

$t = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25$ часа.

Можно также перевести это время в часы и минуты: 1,25 часа = 1 час и 0,25 * 60 = 15 минут.

Ответ: 1,25 часа.