Номер 1, страница 305 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1) Вычислите $ (5,25 - 4\frac{21}{40}) : 1,45 - (7\frac{1}{3} - 6,875) : 0,75. $

2) Упростите выражение $ \left(\frac{x^2 + 4}{x^2 - 4x + 4} + \frac{x - 2}{2 - x}\right) : \frac{4}{x^2 - 4}. $

3) Постройте график функции $ y = x - 1 $. Определите интервал, на котором функция принимает положительные значения.

4) Сумма двух чисел равна 2, а их произведение равно -35. Найдите эти числа.

1)

Решим выражение по действиям. Для удобства вычислений переведем все десятичные дроби и смешанные числа в неправильные дроби.

1. Вычислим разность в первых скобках: $5,25 - 4\frac{21}{40} = 5\frac{1}{4} - 4\frac{21}{40} = \frac{21}{4} - \frac{181}{40} = \frac{21 \cdot 10}{40} - \frac{181}{40} = \frac{210 - 181}{40} = \frac{29}{40}$.

2. Выполним первое деление: $\frac{29}{40} : 1,45 = \frac{29}{40} : \frac{145}{100} = \frac{29}{40} : \frac{29}{20} = \frac{29}{40} \cdot \frac{20}{29} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$.

3. Вычислим разность во вторых скобках: $7\frac{1}{3} - 6,875 = \frac{22}{3} - 6\frac{875}{1000} = \frac{22}{3} - 6\frac{7}{8} = \frac{22}{3} - \frac{55}{8} = \frac{22 \cdot 8 - 55 \cdot 3}{24} = \frac{176 - 165}{24} = \frac{11}{24}$.

4. Выполним второе деление: $\frac{11}{24} : 0,75 = \frac{11}{24} : \frac{3}{4} = \frac{11}{24} \cdot \frac{4}{3} = \frac{11 \cdot 4}{24 \cdot 3} = \frac{11}{6 \cdot 3} = \frac{11}{18}$.

5. Найдем конечный результат: $\frac{1}{2} - \frac{11}{18} = \frac{9}{18} - \frac{11}{18} = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9}$.

Ответ: $-\frac{1}{9}$.

2)

Упростим данное выражение. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x^2 - 4x + 4 \neq 0$, $2-x \neq 0$ и $x^2-4 \neq 0$, что в совокупности дает $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

1. Преобразуем выражение в скобках. Знаменатель первой дроби $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом $(x-2)^2$. Вторую дробь можно упростить: $\frac{x-2}{2-x} = \frac{x-2}{-(x-2)} = -1$. Таким образом, выражение в скобках равно: $\frac{x^2+4}{(x-2)^2} + (-1) = \frac{x^2+4}{(x-2)^2} - \frac{(x-2)^2}{(x-2)^2} = \frac{x^2+4 - (x^2-4x+4)}{(x-2)^2} = \frac{x^2+4-x^2+4x-4}{(x-2)^2} = \frac{4x}{(x-2)^2}$.

2. Выполним деление. Знаменатель делителя $x^2-4$ разложим на множители по формуле разности квадратов: $(x-2)(x+2)$. $\frac{4x}{(x-2)^2} : \frac{4}{x^2-4} = \frac{4x}{(x-2)^2} \cdot \frac{x^2-4}{4} = \frac{4x}{(x-2)^2} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{4}$.

3. Сократим общие множители $4$ и $(x-2)$: $\frac{x \cdot (x+2)}{x-2} = \frac{x^2+2x}{x-2}$.

Ответ: $\frac{x^2+2x}{x-2}$.

3)

Функция $y = x - 1$ — это линейная функция, её график представляет собой прямую линию. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых её точек.

Найдем две точки:

1. При $x = 0$, $y = 0 - 1 = -1$. Координаты точки $(0; -1)$.

2. При $y = 0$, $0 = x - 1$, откуда $x = 1$. Координаты точки $(1; 0)$.

Построив прямую, проходящую через эти две точки, мы получим график функции $y = x - 1$.

Теперь определим интервал, на котором функция принимает положительные значения. Для этого решим неравенство $y > 0$:

$x - 1 > 0$

$x > 1$

Функция принимает положительные значения, когда $x$ строго больше 1.

Ответ: График функции $y=x-1$ — это прямая, проходящая через точки $(0; -1)$ и $(1; 0)$. Функция принимает положительные значения на интервале $(1; +\infty)$.

4)

Пусть искомые числа равны $a$ и $b$. Согласно условию задачи, мы можем составить систему уравнений:

$\begin{cases} a + b = 2 \\ a \cdot b = -35 \end{cases}$

По обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (a+b)z + ab = 0$. Подставим в это уравнение известные нам значения суммы и произведения:

$z^2 - 2z - 35 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$.

$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.

Найдем корни уравнения:

$z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

$z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

Следовательно, искомые числа — это 7 и -5.

Проверим: сумма $7 + (-5) = 2$, произведение $7 \cdot (-5) = -35$. Условия выполнены.

Ответ: 7 и -5.