Номер 5, страница 306 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

5. 1) Вычислите

$ \frac{12,8 \cdot 3\frac{3}{4} - 4\frac{4}{11} \cdot 4,125}{2\frac{4}{7} : \frac{3}{35}} $

2) Упростите выражение

$ 2m - \frac{m-4}{m^2+8m+16} : \frac{1}{16-m^2} $

3) Решите систему уравнений графическим способом:

$ \begin{cases} x+y=5, \\ 3x-y=1. \end{cases} $

4) Решите систему уравнений

$ \begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1, \\ x-y = 2. \end{cases} $

1) Вычислите
Выполним вычисления по действиям. Сначала вычислим значение числителя, затем знаменателя и, наконец, найдем их частное. Для удобства переведем все десятичные дроби и смешанные числа в неправильные дроби.
$12,8 = 12\frac{8}{10} = 12\frac{4}{5} = \frac{64}{5}$
$3\frac{3}{4} = \frac{15}{4}$
$4\frac{4}{11} = \frac{48}{11}$
$4,125 = 4\frac{125}{1000} = 4\frac{1}{8} = \frac{33}{8}$
$2\frac{4}{7} = \frac{18}{7}$
Теперь выполним действия в числителе:
$12,8 \cdot 3\frac{3}{4} = \frac{64}{5} \cdot \frac{15}{4} = \frac{64 \cdot 15}{5 \cdot 4} = 16 \cdot 3 = 48$
$4\frac{4}{11} \cdot 4,125 = \frac{48}{11} \cdot \frac{33}{8} = \frac{48 \cdot 33}{11 \cdot 8} = 6 \cdot 3 = 18$
Значение числителя: $48 - 18 = 30$.
Теперь выполним действие в знаменателе:
$2\frac{4}{7} : \frac{3}{35} = \frac{18}{7} \cdot \frac{35}{3} = \frac{18 \cdot 35}{7 \cdot 3} = 6 \cdot 5 = 30$.
И, наконец, найдем значение всей дроби:
$\frac{30}{30} = 1$.
Ответ: 1.

2) Упростите выражение
Упростим выражение $2m - \frac{m-4}{m^2+8m+16} : \frac{1}{16-m^2}$.
Сначала выполним деление дробей. Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$ и разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$m^2+8m+16 = m^2+2 \cdot m \cdot 4 + 4^2 = (m+4)^2$
$16-m^2 = 4^2-m^2 = (4-m)(4+m)$
Теперь выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:
$\frac{m-4}{m^2+8m+16} : \frac{1}{16-m^2} = \frac{m-4}{(m+4)^2} \cdot \frac{16-m^2}{1} = \frac{m-4}{(m+4)^2} \cdot (4-m)(4+m)$
Сократим дробь на $(m+4)$:
$\frac{(m-4)(4-m)}{m+4}$
Заметим, что $4-m = -(m-4)$. Подставим это в числитель:
$\frac{(m-4)(-(m-4))}{m+4} = \frac{-(m-4)^2}{m+4}$
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$2m - \frac{-(m-4)^2}{m+4} = 2m + \frac{(m-4)^2}{m+4}$
Приведем к общему знаменателю $(m+4)$:
$\frac{2m(m+4)}{m+4} + \frac{(m-4)^2}{m+4} = \frac{2m(m+4) + (m^2-8m+16)}{m+4}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{2m^2+8m+m^2-8m+16}{m+4} = \frac{3m^2+16}{m+4}$
Ответ: $\frac{3m^2+16}{m+4}$.

3) Решите систему уравнений графическим способом
Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + y = 5 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$
Для решения системы графическим способом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точку их пересечения. Координаты этой точки и будут решением системы. Оба уравнения являются линейными, их графики - прямые.
1. Построим график первого уравнения $x+y=5$. Выразим $y$ через $x$: $y = 5-x$.
Найдем две точки для построения прямой:
При $x=0$, $y=5$. Точка $(0, 5)$.
При $x=5$, $y=0$. Точка $(5, 0)$.
2. Построим график второго уравнения $3x-y=1$. Выразим $y$ через $x$: $y = 3x-1$.
Найдем две точки для построения прямой:
При $x=0$, $y=-1$. Точка $(0, -1)$.
При $x=1$, $y=3(1)-1=2$. Точка $(1, 2)$.
3. Построим обе прямые на координатной плоскости. Прямая $y=5-x$ проходит через точки $(0,5)$ и $(5,0)$. Прямая $y=3x-1$ проходит через точки $(0,-1)$ и $(1,2)$.
Найдем точку пересечения этих прямых на графике. Видно, что прямые пересекаются в точке с координатами $(1.5, 3.5)$.
Проверим, подставив эти значения в оба уравнения:
$1.5 + 3.5 = 5$ (Верно)
$3(1.5) - 3.5 = 4.5 - 3.5 = 1$ (Верно)
Следовательно, решение найдено верно.
Ответ: $(1.5, 3.5)$.

4) Решите систему уравнений
Дана система уравнений:
$\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1 \\ x - y = 2 \end{cases}$
Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$.
Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = y+2$
Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$\frac{2}{y+2} + \frac{1}{y} = 1$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $y(y+2)$:
$\frac{2y + 1(y+2)}{y(y+2)} = 1$
$\frac{3y+2}{y^2+2y} = 1$
Так как $y \neq 0$ и $y+2 \neq 0$, мы можем умножить обе части на знаменатель:
$3y+2 = y^2+2y$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$y^2 + 2y - 3y - 2 = 0$
$y^2 - y - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 1, произведение корней равно -2. Корни: $y_1=2$ и $y_2=-1$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого корня $y$.
1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = y_1+2 = 2+2=4$. Получаем пару $(4, 2)$.
2. Если $y_2 = -1$, то $x_2 = y_2+2 = -1+2=1$. Получаем пару $(1, -1)$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ. Выполним проверку.
Для пары $(4, 2)$:
$\frac{2}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ (верно)
$4-2=2$ (верно)
Для пары $(1, -1)$:
$\frac{2}{1} + \frac{1}{-1} = 2-1 = 1$ (верно)
$1-(-1)=2$ (верно)
Обе пары являются решениями системы.
Ответ: $(4, 2)$, $(1, -1)$.