Страница 306 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

5. 1) Вычислите

$ \frac{12,8 \cdot 3\frac{3}{4} - 4\frac{4}{11} \cdot 4,125}{2\frac{4}{7} : \frac{3}{35}} $

2) Упростите выражение

$ 2m - \frac{m-4}{m^2+8m+16} : \frac{1}{16-m^2} $

3) Решите систему уравнений графическим способом:

$ \begin{cases} x+y=5, \\ 3x-y=1. \end{cases} $

4) Решите систему уравнений

$ \begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1, \\ x-y = 2. \end{cases} $

1) Вычислите
Выполним вычисления по действиям. Сначала вычислим значение числителя, затем знаменателя и, наконец, найдем их частное. Для удобства переведем все десятичные дроби и смешанные числа в неправильные дроби.
$12,8 = 12\frac{8}{10} = 12\frac{4}{5} = \frac{64}{5}$
$3\frac{3}{4} = \frac{15}{4}$
$4\frac{4}{11} = \frac{48}{11}$
$4,125 = 4\frac{125}{1000} = 4\frac{1}{8} = \frac{33}{8}$
$2\frac{4}{7} = \frac{18}{7}$
Теперь выполним действия в числителе:
$12,8 \cdot 3\frac{3}{4} = \frac{64}{5} \cdot \frac{15}{4} = \frac{64 \cdot 15}{5 \cdot 4} = 16 \cdot 3 = 48$
$4\frac{4}{11} \cdot 4,125 = \frac{48}{11} \cdot \frac{33}{8} = \frac{48 \cdot 33}{11 \cdot 8} = 6 \cdot 3 = 18$
Значение числителя: $48 - 18 = 30$.
Теперь выполним действие в знаменателе:
$2\frac{4}{7} : \frac{3}{35} = \frac{18}{7} \cdot \frac{35}{3} = \frac{18 \cdot 35}{7 \cdot 3} = 6 \cdot 5 = 30$.
И, наконец, найдем значение всей дроби:
$\frac{30}{30} = 1$.
Ответ: 1.

2) Упростите выражение
Упростим выражение $2m - \frac{m-4}{m^2+8m+16} : \frac{1}{16-m^2}$.
Сначала выполним деление дробей. Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$ и разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$m^2+8m+16 = m^2+2 \cdot m \cdot 4 + 4^2 = (m+4)^2$
$16-m^2 = 4^2-m^2 = (4-m)(4+m)$
Теперь выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:
$\frac{m-4}{m^2+8m+16} : \frac{1}{16-m^2} = \frac{m-4}{(m+4)^2} \cdot \frac{16-m^2}{1} = \frac{m-4}{(m+4)^2} \cdot (4-m)(4+m)$
Сократим дробь на $(m+4)$:
$\frac{(m-4)(4-m)}{m+4}$
Заметим, что $4-m = -(m-4)$. Подставим это в числитель:
$\frac{(m-4)(-(m-4))}{m+4} = \frac{-(m-4)^2}{m+4}$
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$2m - \frac{-(m-4)^2}{m+4} = 2m + \frac{(m-4)^2}{m+4}$
Приведем к общему знаменателю $(m+4)$:
$\frac{2m(m+4)}{m+4} + \frac{(m-4)^2}{m+4} = \frac{2m(m+4) + (m^2-8m+16)}{m+4}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{2m^2+8m+m^2-8m+16}{m+4} = \frac{3m^2+16}{m+4}$
Ответ: $\frac{3m^2+16}{m+4}$.

3) Решите систему уравнений графическим способом
Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + y = 5 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$
Для решения системы графическим способом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точку их пересечения. Координаты этой точки и будут решением системы. Оба уравнения являются линейными, их графики - прямые.
1. Построим график первого уравнения $x+y=5$. Выразим $y$ через $x$: $y = 5-x$.
Найдем две точки для построения прямой:
При $x=0$, $y=5$. Точка $(0, 5)$.
При $x=5$, $y=0$. Точка $(5, 0)$.
2. Построим график второго уравнения $3x-y=1$. Выразим $y$ через $x$: $y = 3x-1$.
Найдем две точки для построения прямой:
При $x=0$, $y=-1$. Точка $(0, -1)$.
При $x=1$, $y=3(1)-1=2$. Точка $(1, 2)$.
3. Построим обе прямые на координатной плоскости. Прямая $y=5-x$ проходит через точки $(0,5)$ и $(5,0)$. Прямая $y=3x-1$ проходит через точки $(0,-1)$ и $(1,2)$.
Найдем точку пересечения этих прямых на графике. Видно, что прямые пересекаются в точке с координатами $(1.5, 3.5)$.
Проверим, подставив эти значения в оба уравнения:
$1.5 + 3.5 = 5$ (Верно)
$3(1.5) - 3.5 = 4.5 - 3.5 = 1$ (Верно)
Следовательно, решение найдено верно.
Ответ: $(1.5, 3.5)$.

4) Решите систему уравнений
Дана система уравнений:
$\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1 \\ x - y = 2 \end{cases}$
Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$.
Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = y+2$
Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$\frac{2}{y+2} + \frac{1}{y} = 1$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $y(y+2)$:
$\frac{2y + 1(y+2)}{y(y+2)} = 1$
$\frac{3y+2}{y^2+2y} = 1$
Так как $y \neq 0$ и $y+2 \neq 0$, мы можем умножить обе части на знаменатель:
$3y+2 = y^2+2y$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$y^2 + 2y - 3y - 2 = 0$
$y^2 - y - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 1, произведение корней равно -2. Корни: $y_1=2$ и $y_2=-1$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого корня $y$.
1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = y_1+2 = 2+2=4$. Получаем пару $(4, 2)$.
2. Если $y_2 = -1$, то $x_2 = y_2+2 = -1+2=1$. Получаем пару $(1, -1)$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ. Выполним проверку.
Для пары $(4, 2)$:
$\frac{2}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ (верно)
$4-2=2$ (верно)
Для пары $(1, -1)$:
$\frac{2}{1} + \frac{1}{-1} = 2-1 = 1$ (верно)
$1-(-1)=2$ (верно)
Обе пары являются решениями системы.
Ответ: $(4, 2)$, $(1, -1)$.

6. 1) Вычислите

$\frac{28,8 : 13\frac{5}{7} + 6,6 \cdot 1\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{80} : 1,35}$

2) Упростите выражение

$3x + \frac{2 - x}{x^2 + 2x + 1} : \frac{1}{1 - x^2}$

3) Решите систему уравнений графическим способом:

$\begin{cases} x - y = 4, \\ 2x + y = 2. \end{cases}$

4) Решите систему уравнений

$\begin{cases} x + y = 4, \\ \frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 1. \end{cases}$

1) Вычислите

Для вычисления значения выражения $\frac{28,8 \cdot 13\frac{5}{7} + 6,6 \cdot 1\frac{1}{2}}{1\frac{1}{80} : 1,35}$ выполним действия по порядку.

Сначала вычислим значение числителя. Для этого преобразуем десятичные дроби и смешанные числа в обыкновенные дроби.

1. $28,8 = \frac{288}{10} = \frac{144}{5}$

2. $13\frac{5}{7} = \frac{13 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{91+5}{7} = \frac{96}{7}$

3. $6,6 = \frac{66}{10} = \frac{33}{5}$

4. $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь выполним умножение в числителе:

5. $28,8 \cdot 13\frac{5}{7} = \frac{144}{5} \cdot \frac{96}{7} = \frac{13824}{35}$

6. $6,6 \cdot 1\frac{1}{2} = \frac{33}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{99}{10}$

Сложим полученные результаты:

7. $\frac{13824}{35} + \frac{99}{10} = \frac{13824 \cdot 2}{70} + \frac{99 \cdot 7}{70} = \frac{27648}{70} + \frac{693}{70} = \frac{28341}{70}$

Теперь вычислим значение знаменателя.

8. $1\frac{1}{80} = \frac{81}{80}$

9. $1,35 = \frac{135}{100} = \frac{27}{20}$

Выполним деление в знаменателе:

10. $1\frac{1}{80} : 1,35 = \frac{81}{80} : \frac{27}{20} = \frac{81}{80} \cdot \frac{20}{27} = \frac{81 \cdot 20}{80 \cdot 27} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{3}{4}$

Наконец, разделим числитель на знаменатель:

11. $\frac{\frac{28341}{70}}{\frac{3}{4}} = \frac{28341}{70} \cdot \frac{4}{3} = \frac{28341 \cdot 4}{70 \cdot 3}$

Сократим 28341 и 3 (сумма цифр $2+8+3+4+1=18$ делится на 3): $28341 : 3 = 9447$.

$\frac{9447 \cdot 4}{70} = \frac{9447 \cdot 2}{35} = \frac{18894}{35}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$18894 : 35 = 539$ (остаток $29$).

Таким образом, результат равен $539\frac{29}{35}$.

Ответ: $539\frac{29}{35}$.

2) Упростите выражение

Дано выражение $3x + \frac{2-x}{x^2+2x+1} : \frac{1}{1-x^2}$.

Сначала выполним деление дробей. Для этого заменим деление на умножение и перевернем вторую дробь.

$\frac{2-x}{x^2+2x+1} : \frac{1}{1-x^2} = \frac{2-x}{x^2+2x+1} \cdot \frac{1-x^2}{1}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ и разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$x^2+2x+1 = (x+1)^2$

$1-x^2 = (1-x)(1+x)$

Подставим разложенные выражения обратно:

$\frac{2-x}{(x+1)^2} \cdot \frac{(1-x)(1+x)}{1}$

Сократим общие множители $(x+1)$:

$\frac{(2-x)(1-x)}{x+1}$

Раскроем скобки в числителе:

$(2-x)(1-x) = 2 - 2x - x + x^2 = x^2 - 3x + 2$

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим упрощенную часть:

$3x + \frac{x^2 - 3x + 2}{x+1}$

Приведем к общему знаменателю $(x+1)$:

$\frac{3x(x+1)}{x+1} + \frac{x^2 - 3x + 2}{x+1} = \frac{3x^2+3x+x^2-3x+2}{x+1}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(3x^2+x^2) + (3x-3x) + 2}{x+1} = \frac{4x^2+2}{x+1}$

Можно вынести общий множитель 2 за скобки в числителе:

$\frac{2(2x^2+1)}{x+1}$

Ответ: $\frac{4x^2+2}{x+1}$.

3) Решите систему уравнений графическим способом

Дана система линейных уравнений:

$\begin{cases} x - y = 4 \\ 2x + y = 2 \end{cases}$

Для решения графическим способом необходимо построить графики обоих уравнений в одной системе координат. Каждое уравнение представляет собой прямую линию. Точка пересечения этих прямых и будет решением системы.

1. Построим график первого уравнения $x - y = 4$. Выразим $y$ через $x$:

$y = x - 4$

Найдем две точки, принадлежащие этой прямой:

• при $x=0$, $y = 0 - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
• при $x=4$, $y = 4 - 4 = 0$. Точка $(4, 0)$.

Проведем прямую через эти две точки.

2. Построим график второго уравнения $2x + y = 2$. Выразим $y$ через $x$:

$y = -2x + 2$

Найдем две точки, принадлежащие этой прямой:

• при $x=0$, $y = -2 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• при $x=1$, $y = -2 \cdot 1 + 2 = 0$. Точка $(1, 0)$.

Проведем прямую через эти две точки.

3. Найдем точку пересечения построенных графиков. Визуально на графике можно определить, что прямые пересекаются в точке с координатами $(2, -2)$.

Для проверки приравняем правые части уравнений, выражающих $y$:

$x - 4 = -2x + 2$

$3x = 6$

$x = 2$

Подставим $x=2$ в любое из уравнений, например, в первое: $y = 2 - 4 = -2$.

Координаты точки пересечения $(2, -2)$.

Ответ: $(2, -2)$.

4) Решите систему уравнений

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 4 \\ \frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 1 \end{cases}$

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 4 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$\frac{3}{x} - \frac{1}{4-x} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(4-x)$:

$\frac{3(4-x) - 1 \cdot x}{x(4-x)} = 1$

$\frac{12 - 3x - x}{4x - x^2} = 1$

$\frac{12 - 4x}{4x - x^2} = 1$

Умножим обе части на знаменатель $4x - x^2$, при условии, что он не равен нулю (что соответствует ОДЗ $x \neq 0$ и $x \neq 4$):

$12 - 4x = 4x - x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 4x - 4x + 12 = 0$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Ищем два числа, произведение которых равно 12, а сумма равна 8. Это числа 2 и 6.

Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня.

1. Если $x_1 = 2$:

$y_1 = 4 - x_1 = 4 - 2 = 2$.

Получили первую пару решений: $(2, 2)$.

2. Если $x_2 = 6$:

$y_2 = 4 - x_2 = 4 - 6 = -2$.

Получили вторую пару решений: $(6, -2)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, 2)$, $(6, -2)$.

7. 1) Вычислите

$\frac{(0,29 - 1,09) \cdot 1,25}{\left(18,9 - 16\frac{13}{20}\right) \cdot \frac{8}{9}}$

2) Упростите выражение

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$

3) Решите систему уравнений графическим способом:

$\begin{cases} x + 3y = 5, \\ 3x + y = -1. \end{cases}$

4) Фрезеровщик должен изготовить к определённому сроку 80 деталей. Если он будет изготавливать за смену на одну деталь больше, чем предусмотрено планом, то закончит работу на 4 дня раньше срока. За сколько дней планировалось выполнить работу?

1) Вычислите

Для вычисления значения выражения $\frac{(0,29 - 1,09) \cdot 1,25}{(18,9 - 16\frac{13}{20}) \cdot \frac{8}{9}}$ выполним действия по шагам.

1. Вычислим значение числителя.
$0,29 - 1,09 = -0,8$
$-0,8 \cdot 1,25 = -0,8 \cdot \frac{5}{4} = -\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4} = -1$

2. Вычислим значение знаменателя.
Сначала выполним вычитание в скобках. Переведем смешанную дробь в десятичную: $16\frac{13}{20} = 16 + \frac{13 \cdot 5}{20 \cdot 5} = 16 + \frac{65}{100} = 16,65$.
$18,9 - 16,65 = 18,90 - 16,65 = 2,25$
Теперь умножим результат на дробь $\frac{8}{9}$. Переведем $2,25$ в обыкновенную дробь: $2,25 = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.
$\frac{9}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{9 \cdot 8}{4 \cdot 9} = \frac{8}{4} = 2$

3. Разделим числитель на знаменатель.
$\frac{-1}{2} = -0,5$

Ответ: $-0,5$.

2) Упростите выражение

Дано выражение $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$.
1. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$.
Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, получаем:
$(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x - y$.

2. Умножим числитель первой дроби на $(\sqrt{x}+\sqrt{y})$, а числитель второй дроби на $(\sqrt{x}-\sqrt{y})$.
$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{x-y} - \frac{\sqrt{y}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{x-y}$

3. Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем.
$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) - \sqrt{y}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{x-y}$
Раскроем скобки в числителе:
$x + \sqrt{xy} - (\sqrt{xy} - y) = x + \sqrt{xy} - \sqrt{xy} + y = x + y$

4. Запишем итоговое выражение.
$\frac{x+y}{x-y}$

Ответ: $\frac{x+y}{x-y}$.

3) Решите систему уравнений графическим способом

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + 3y = 5 \\ 3x + y = -1 \end{cases}$

Для решения системы графическим способом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точку их пересечения. Каждое уравнение является линейным, поэтому его графиком будет прямая.

1. Построим график первого уравнения $x + 3y = 5$. Выразим $y$ через $x$:
$3y = 5 - x \implies y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$
Найдем две точки, принадлежащие этой прямой:
- если $x = 2$, то $y = -\frac{1}{3}(2) + \frac{5}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Точка А(2, 1).
- если $x = -1$, то $y = -\frac{1}{3}(-1) + \frac{5}{3} = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{6}{3} = 2$. Точка B(-1, 2).

2. Построим график второго уравнения $3x + y = -1$. Выразим $y$ через $x$:
$y = -3x - 1$
Найдем две точки, принадлежащие этой прямой:
- если $x = 0$, то $y = -3(0) - 1 = -1$. Точка C(0, -1).
- если $x = -1$, то $y = -3(-1) - 1 = 3 - 1 = 2$. Точка D(-1, 2).

3. Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что прямые пересекаются в точке $(-1, 2)$. Эта точка является общей для обеих прямых (мы ее получили при поиске точек для каждого графика), следовательно, ее координаты являются решением системы.

Ответ: $x = -1, y = 2$.

4) Фрезеровщик должен изготовить к определённому сроку 80 деталей. Если он будет изготавливать за смену на одну деталь больше, чем предусмотрено планом, то закончит работу на 4 дня раньше срока. За сколько дней планировалось выполнить работу?

Пусть $t$ – количество дней, за которое фрезеровщик планировал выполнить работу, а $v$ – плановая производительность (количество деталей в день).
По условию, всего нужно изготовить 80 деталей. Таким образом, получаем первое уравнение:
$v \cdot t = 80$

По новому плану, фрезеровщик изготавливал на одну деталь в день больше, то есть его новая производительность стала $(v + 1)$ деталей в день. Работу он закончил на 4 дня раньше, то есть за $(t - 4)$ дня. Общее количество деталей осталось тем же. Получаем второе уравнение:
$(v + 1)(t - 4) = 80$

Получили систему из двух уравнений:
$\begin{cases} vt = 80 \\ (v + 1)(t - 4) = 80 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $v$: $v = \frac{80}{t}$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(\frac{80}{t} + 1)(t - 4) = 80$
Раскроем скобки:
$80 - \frac{320}{t} + t - 4 = 80$
$t - \frac{320}{t} - 4 = 0$
Умножим обе части уравнения на $t$ (при условии, что $t \neq 0$):
$t^2 - 4t - 320 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-320) = 16 + 1280 = 1296$
$\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 36}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 36}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Так как количество дней не может быть отрицательным, корень $t_2 = -16$ не подходит по смыслу задачи.
Следовательно, планировалось выполнить работу за 20 дней.

Ответ: 20 дней.