Страница 301 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1243. С какой высоты падала на землю (начальная скорость $v_0$ равна $0 \text{ м/с}$) материальная точка, если её падение продолжалось $5 \text{ с}$? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение земного притяжения считать равным $10 \text{ м/с}^2$.

Для решения этой задачи используется формула для вычисления высоты при свободном падении тела без начальной скорости. Такое движение является равноускоренным, где ускорение равно ускорению свободного падения $g$.

Формула для пройденного пути при равноускоренном движении имеет вид: $h = v_0 t + \frac{g t^2}{2}$ где $h$ — высота (пройденный путь), $v_0$ — начальная скорость, $t$ — время падения, и $g$ — ускорение свободного падения.

В условиях задачи дано:

• начальная скорость $v_0 = 0 \text{ м/с}$ (тело начинает падение из состояния покоя);
• время падения $t = 5 \text{ с}$;
• ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Поскольку начальная скорость $v_0 = 0$, первый член в формуле ($v_0 t$) становится равным нулю, и формула упрощается: $h = \frac{g t^2}{2}$

Подставим данные из условия задачи в упрощенную формулу и выполним вычисления: $h = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (5 \text{ с})^2}{2}$ $h = \frac{10 \cdot 25}{2} \text{ м}$ $h = \frac{250}{2} \text{ м}$ $h = 125 \text{ м}$

Таким образом, материальная точка падала с высоты 125 метров.

Ответ: 125 м.

1244. Сколько времени будет падать на землю материальная точка с высоты $10\,000 \text{ м}$? Ответ дайте приближённо с точностью до $1 \text{ с}$. Сопротивлением воздуха пренебречь, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$, $v_0 = 0 \text{ м/с}$.

Для определения времени падения материальной точки воспользуемся формулой для высоты при свободном падении без начальной скорости. Это частный случай равноускоренного движения.

Общая формула для пройденного пути $h$ при равноускоренном движении выглядит так:

$h = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$

В условиях задачи дано:

• высота $h = 10000$ м;
• начальная скорость $v_0 = 0$ м/с (тело начинает падать из состояния покоя);
• ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

Поскольку начальная скорость $v_0$ равна нулю, первый член в формуле ($v_0 t$) обнуляется, и она принимает вид:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Наша цель — найти время $t$. Выразим $t$ из этой формулы. Сначала умножим обе части на 2:

$2h = gt^2$

Затем разделим на $g$:

$t^2 = \frac{2h}{g}$

И, наконец, извлечем квадратный корень:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 10000}{10}}$

Выполним вычисления под корнем:

$t = \sqrt{\frac{20000}{10}} = \sqrt{2000}$

Для вычисления значения $\sqrt{2000}$ можно заметить, что $40^2 = 1600$, а $50^2 = 2500$. Значит, результат находится между 40 и 50. Проверим $45^2 = 2025$. Это очень близко к 2000. Более точное вычисление дает:

$t \approx 44.72$ с

По условию задачи, ответ требуется дать приближённо с точностью до 1 секунды. Округляем полученное значение 44,72 с до ближайшего целого числа.

$t \approx 45$ с

Ответ: 45 с.

1245. Материальная точка падает на землю по закону $h = 5t^2$ ($h$ измеряется в метрах, $t$ — в секундах). Определите приближённо среднюю скорость точки за промежутки времени между:

a) $t_1 = 0$ и $t_2 = 0,1$;

б) $t_1 = 1$ и $t_2 = 1,1$;

в) $t_1 = 2$ и $t_2 = 2,1$;

г) $t_1 = 3$ и $t_2 = 3,1$.

Для определения средней скорости материальной точки на заданном промежутке времени используется формула:

$v_{ср} = \frac{\Delta h}{\Delta t} = \frac{h(t_2) - h(t_1)}{t_2 - t_1}$

где $h(t) = 5t^2$ — закон движения точки, $h$ измеряется в метрах, $t$ — в секундах.

Подставим данную функцию в формулу средней скорости и упростим ее:

$v_{ср} = \frac{5t_2^2 - 5t_1^2}{t_2 - t_1} = \frac{5(t_2^2 - t_1^2)}{t_2 - t_1}$

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:

$v_{ср} = \frac{5(t_2 - t_1)(t_2 + t_1)}{t_2 - t_1} = 5(t_1 + t_2)$

Теперь применим эту упрощенную формулу для каждого из заданных промежутков.

а)

Для промежутка времени между $t_1 = 0$ с и $t_2 = 0,1$ с:

$v_{ср} = 5(0 + 0,1) = 5 \cdot 0,1 = 0,5$ м/с.

Ответ: 0,5 м/с.

б)

Для промежутка времени между $t_1 = 1$ с и $t_2 = 1,1$ с:

$v_{ср} = 5(1 + 1,1) = 5 \cdot 2,1 = 10,5$ м/с.

Ответ: 10,5 м/с.

в)

Для промежутка времени между $t_1 = 2$ с и $t_2 = 2,1$ с:

$v_{ср} = 5(2 + 2,1) = 5 \cdot 4,1 = 20,5$ м/с.

Ответ: 20,5 м/с.

г)

Для промежутка времени между $t_1 = 3$ с и $t_2 = 3,1$ с:

$v_{ср} = 5(3 + 3,1) = 5 \cdot 6,1 = 30,5$ м/с.

Ответ: 30,5 м/с.

1246. Закон прямолинейного движения материальной точки задан формулой:

а) $s = 5t^2, t \ge 0;$

б) $s = 10t + 5t^2, t \ge 0;$

в) $s = 10t - 5t^2, t \ge 0.$

1) Нарисуйте график движения.

2) Определите $s$ в момент времени $t = 0$.

3) Определите скорость точки в момент времени $t = 0$.

4) Укажите, в какую сторону направлена сила, действующая на точку.

а) $s = 5t^2, t \ge 0$

1. 1) Нарисуйте график движения.

   Закон движения $s(t) = 5t^2$ представляет собой квадратичную функцию. Графиком такой функции является парабола. Так как коэффициент при $t^2$ положителен ($5 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке, где $t=0$, следовательно, $s=0$. Таким образом, вершина находится в начале координат $(0, 0)$. Условие $t \ge 0$ означает, что мы рассматриваем только правую ветвь параболы, начинающуюся из начала координат.
   Ответ: График движения — это правая ветвь параболы $s=5t^2$ с вершиной в начале координат.

2. 2) Определите s в момент времени t = 0.

   Для определения положения точки в начальный момент времени, подставим $t=0$ в уравнение движения: $s(0) = 5 \cdot 0^2 = 0$.
   Ответ: В момент времени $t=0$ положение точки $s=0$.

3. 3) Определите скорость точки в момент времени t = 0.

   Скорость $v(t)$ является первой производной от перемещения $s(t)$ по времени $t$: $v(t) = s'(t) = (5t^2)' = 2 \cdot 5t = 10t$. Теперь найдем скорость в момент времени $t=0$: $v(0) = 10 \cdot 0 = 0$.
   Ответ: В момент времени $t=0$ скорость точки равна $0$.

4. 4) Укажите, в какую сторону направлена сила, действующая на точку.

   Согласно второму закону Ньютона, направление силы совпадает с направлением ускорения ($F=ma$). Ускорение $a(t)$ является первой производной от скорости $v(t)$ по времени $t$: $a(t) = v'(t) = (10t)' = 10$. Ускорение постоянно и положительно ($a = 10 > 0$). Следовательно, сила направлена в положительном направлении оси $s$.
   Ответ: Сила направлена в сторону положительного направления оси $s$.

б) $s = 10t + 5t^2, t \ge 0$

1. 1) Нарисуйте график движения.

   Закон движения $s(t) = 10t + 5t^2$ также является квадратичной функцией. Это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $t^2$ равен $5 > 0$). Вершина параболы находится в точке с координатой $t_v = -b/(2a) = -10/(2 \cdot 5) = -1$. Так как по условию $t \ge 0$, мы рассматриваем часть параболы, начинающуюся в точке $t=0$. При $t=0$, $s(0)=0$. На промежутке $t \ge 0$ функция возрастает.
   Ответ: График движения — это часть параболы $s=10t+5t^2$, начинающаяся в начале координат и идущая вверх.

2. 2) Определите s в момент времени t = 0.

   Подставим $t=0$ в уравнение движения: $s(0) = 10 \cdot 0 + 5 \cdot 0^2 = 0$.
   Ответ: В момент времени $t=0$ положение точки $s=0$.

3. 3) Определите скорость точки в момент времени t = 0.

   Найдем производную от перемещения по времени: $v(t) = s'(t) = (10t + 5t^2)' = 10 + 10t$. Скорость в момент времени $t=0$: $v(0) = 10 + 10 \cdot 0 = 10$.
   Ответ: В момент времени $t=0$ скорость точки равна $10$.

4. 4) Укажите, в какую сторону направлена сила, действующая на точку.

   Найдем ускорение как производную от скорости: $a(t) = v'(t) = (10 + 10t)' = 10$. Ускорение постоянно и положительно ($a = 10 > 0$). Значит, сила направлена в положительном направлении оси $s$.
   Ответ: Сила направлена в сторону положительного направления оси $s$.

в) $s = 10t - 5t^2, t \ge 0$

1. 1) Нарисуйте график движения.

   Закон движения $s(t) = 10t - 5t^2$ — квадратичная функция. График — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $t^2$ равен $-5 < 0$). Найдем вершину параболы: $t_v = -b/(2a) = -10/(2 \cdot (-5)) = 1$. При $t=1$, $s(1) = 10 \cdot 1 - 5 \cdot 1^2 = 5$. Вершина находится в точке $(1, 5)$. График начинается в точке $(0, 0)$, достигает максимума в точке $(1, 5)$, а затем убывает, пересекая ось $t$ в точке $t=2$ ($10t - 5t^2 = 5t(2-t) = 0$).
   Ответ: График движения — это дуга параболы, выходящая из начала координат, достигающая максимального значения $s=5$ при $t=1$ и возвращающаяся к $s=0$ при $t=2$.

2. 2) Определите s в момент времени t = 0.

   Подставим $t=0$ в уравнение движения: $s(0) = 10 \cdot 0 - 5 \cdot 0^2 = 0$.
   Ответ: В момент времени $t=0$ положение точки $s=0$.

3. 3) Определите скорость точки в момент времени t = 0.

   Найдем производную от перемещения по времени: $v(t) = s'(t) = (10t - 5t^2)' = 10 - 10t$. Скорость в момент времени $t=0$: $v(0) = 10 - 10 \cdot 0 = 10$.
   Ответ: В момент времени $t=0$ скорость точки равна $10$.

4. 4) Укажите, в какую сторону направлена сила, действующая на точку.

   Найдем ускорение как производную от скорости: $a(t) = v'(t) = (10 - 10t)' = -10$. Ускорение постоянно и отрицательно ($a = -10 < 0$). Следовательно, сила направлена в отрицательном направлении оси $s$, то есть против начального направления движения.
   Ответ: Сила направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси $s$.

1247. Материальная точка движется с поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Сколько времени точка будет находиться в движении и на какую высоту от поверхности земли она поднимется? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Для решения задачи воспользуемся формулами кинематики для равноускоренного движения. Направим ось координат OY вертикально вверх, а начало отсчета поместим на поверхности земли. В этом случае начальная координата равна нулю, проекция начальной скорости на ось OY положительна ($v_{0} = 20 \text{ м/с}$), а проекция ускорения свободного падения отрицательна ($a = -g$). В расчетах будем использовать стандартное значение ускорения свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Сколько времени точка будет находиться в движении

Полное время движения $t_{полн}$ — это время, за которое точка, поднявшись на максимальную высоту, вернется обратно на поверхность земли. В начальный ($t=0$) и конечный ($t=t_{полн}$) моменты времени координата точки равна нулю.

Запишем уравнение зависимости координаты от времени:

$y(t) = v_{0}t + \frac{at^2}{2} = v_{0}t - \frac{gt^2}{2}$

Чтобы найти время движения, приравняем координату к нулю:

$v_{0}t - \frac{gt^2}{2} = 0$

Вынесем $t$ за скобки:

$t(v_{0} - \frac{gt}{2}) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $t_1 = 0$ (момент старта) и $t_2$, который соответствует моменту падения на землю. Найдем второй корень:

$v_{0} - \frac{gt_2}{2} = 0 \implies t_2 = \frac{2v_{0}}{g}$

Это и есть полное время движения. Подставим числовые значения:

$t_{полн} = \frac{2 \cdot 20 \text{ м/с}}{9,8 \text{ м/с}^2} = \frac{40}{9,8} \text{ с} \approx 4,08 \text{ с}$

Стоит отметить, что поскольку сопротивление воздуха не учитывается, движение симметрично: время подъема на максимальную высоту равно времени падения с нее. Время подъема составляет $t_{под} = v_0/g \approx 2,04 \text{ с}$, а полное время движения $t_{полн} = 2 \cdot t_{под} \approx 4,08 \text{ с}$.

Ответ: точка будет находиться в движении примерно 4,08 с.

На какую высоту от поверхности земли она поднимется

Максимальная высота подъема $h_{max}$ достигается в тот момент, когда скорость точки становится равной нулю ($v=0$). Для нахождения этой высоты удобно использовать формулу, связывающую скорость, ускорение и перемещение, без использования времени:

$v^2 = v_{0}^2 + 2a\Delta y$

В нашем случае $v=0$, $a=-g$ и $\Delta y = h_{max}$.

$0^2 = v_{0}^2 + 2(-g)h_{max}$

$0 = v_{0}^2 - 2gh_{max}$

Выразим отсюда максимальную высоту подъема:

$2gh_{max} = v_{0}^2 \implies h_{max} = \frac{v_{0}^2}{2g}$

Подставим числовые значения в формулу:

$h_{max} = \frac{(20 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2} = \frac{400 \text{ м}^2/\text{с}^2}{19,6 \text{ м/с}^2} \approx 20,41 \text{ м}$

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем $h_{max} \approx 20,4 \text{ м}$.

Ответ: точка поднимется на высоту примерно 20,4 м.

1248. С поверхности земли вертикально вверх брошен камень с начальной скоростью $v_0$ (м/с). Через сколько секунд камень упадет на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь. Решите задачу, если:

а) $v_0 = 15$ м/с;

б) $v_0 = 25$ м/с.

Для решения задачи о движении камня, брошенного вертикально вверх, воспользуемся законами равноускоренного движения. Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь, на камень действует только сила тяжести. Это означает, что он движется с постоянным ускорением свободного падения $g$, направленным вертикально вниз.

Выберем систему координат, в которой ось $Y$ направлена вертикально вверх, а начало отсчета ($y=0$) совпадает с поверхностью земли. В этой системе координат начальная скорость $v_0$ положительна, а ускорение $a$ равно $-g$.

Высота камня $y$ в любой момент времени $t$ определяется уравнением движения: $y(t) = y_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Так как камень брошен с поверхности земли, его начальная координата $y_0 = 0$. Подставив известные величины ($y_0=0$ и $a=-g$), получаем уравнение для высоты: $y(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Камень упадет на землю в тот момент времени $t > 0$, когда его высота $y(t)$ снова станет равна нулю. Приравняем уравнение высоты к нулю, чтобы найти это время: $v_0 t - \frac{gt^2}{2} = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Для его решения вынесем $t$ за скобки: $t \left( v_0 - \frac{gt}{2} \right) = 0$

Данное уравнение имеет два решения: 1. $t_1 = 0$. Это соответствует начальному моменту времени, когда камень находится на земле перед броском. 2. $v_0 - \frac{gt}{2} = 0$. Это уравнение дает нам время, в которое камень вернется на землю.

Найдем полное время полета $t$ из второго решения: $v_0 = \frac{gt}{2}$ $t = \frac{2v_0}{g}$

В расчетах будем использовать стандартное приближенное значение ускорения свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

а) Решим задачу для $v_0 = 15$ м/с.

Подставим значение начальной скорости в выведенную формулу для времени полета: $t = \frac{2 \cdot 15 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} = \frac{30}{10} \text{ с} = 3 \text{ с}$

Ответ: 3 с.

б) Решим задачу для $v_0 = 25$ м/с.

Аналогично подставим это значение начальной скорости в формулу: $t = \frac{2 \cdot 25 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} = \frac{50}{10} \text{ с} = 5 \text{ с}$

Ответ: 5 с.

1249. Спелеолог для выяснения глубины подземной полости бросил вниз без начальной скорости камень. Звук от падения камня на дно полости дошёл до спелеолога через 3 с. Какова глубина подземной полости, если принять скорость звука равной 330 м/с и пренебречь сопротивлением воздуха? Считать, что $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Дано:
Начальная скорость камня, $v_0 = 0$ м/с
Общее время от броска до прихода звука, $t_{общ} = 3$ с
Скорость звука в воздухе, $v_{зв} = 330$ м/с
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:
Глубину подземной полости, $h$

Решение:
Общее время $t_{общ}$, которое измерил спелеолог, состоит из двух частей: времени падения камня ($t_{пад}$) и времени, за которое звук от падения дошел обратно до спелеолога ($t_{зв}$).

$t_{общ} = t_{пад} + t_{зв}$

1. Найдем время падения камня.
Камень падает без начальной скорости. Движение камня — равноускоренное. Глубина полости $h$ связана со временем падения $t_{пад}$ формулой:
$h = v_0 t_{пад} + \frac{g t_{пад}^2}{2}$
Так как $v_0 = 0$, формула упрощается:
$h = \frac{g t_{пад}^2}{2}$
Выразим из этой формулы время падения $t_{пад}$:
$t_{пад} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

2. Найдем время распространения звука.
Звук распространяется с постоянной скоростью $v_{зв}$. Он проходит то же расстояние $h$ вверх. Время его движения $t_{зв}$ можно найти по формуле:
$h = v_{зв} \cdot t_{зв}$
Выразим из этой формулы время распространения звука $t_{зв}$:
$t_{зв} = \frac{h}{v_{зв}}$

3. Составим и решим итоговое уравнение.
Подставим выражения для $t_{пад}$ и $t_{зв}$ в основное уравнение:
$t_{общ} = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{h}{v_{зв}}$
Теперь подставим известные значения:
$3 = \sqrt{\frac{2h}{9,8}} + \frac{h}{330}$
Это уравнение относительно одной неизвестной $h$. Для его решения перенесем одно из слагаемых и возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня.
$3 - \frac{h}{330} = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$
$\left(3 - \frac{h}{330}\right)^2 = \frac{2h}{9,8}$
Раскроем скобки по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \frac{h}{330} + \left(\frac{h}{330}\right)^2 = \frac{h}{4,9}$
$9 - \frac{6h}{330} + \frac{h^2}{108900} = \frac{h}{4,9}$
$9 - \frac{h}{55} + \frac{h^2}{108900} = \frac{h}{4,9}$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:
$\frac{1}{108900}h^2 - \left(\frac{1}{55} + \frac{1}{4,9}\right)h + 9 = 0$
Вычислим коэффициенты:
$A = \frac{1}{108900} \approx 0,00000918$
$B = -\left(\frac{1}{55} + \frac{1}{4,9}\right) \approx -(0,01818 + 0,20408) \approx -0,22226$
$C = 9$
Получаем квадратное уравнение:
$0,00000918h^2 - 0,22226h + 9 = 0$
Решим его через дискриминант $D = B^2 - 4AC$:
$D = (-0,22226)^2 - 4 \cdot 0,00000918 \cdot 9 \approx 0,049399 - 0,00033048 \approx 0,0490685$
$\sqrt{D} \approx \sqrt{0,0490685} \approx 0,221514$
Найдем корни уравнения $h_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:
$h_1 = \frac{0,22226 + 0,221514}{2 \cdot 0,00000918} = \frac{0,443774}{0,00001836} \approx 24170$ м
$h_2 = \frac{0,22226 - 0,221514}{2 \cdot 0,00000918} = \frac{0,000746}{0,00001836} \approx 40,6$ м
Первый корень $h_1 \approx 24$ км является физически неправдоподобным для глубины пещеры. Он возникает как побочное решение из-за возведения уравнения в квадрат. Второй корень $h_2 \approx 40,6$ м является реалистичным.

Проверим второй корень:
Время падения: $t_{пад} = \sqrt{\frac{2 \cdot 40,6}{9,8}} \approx \sqrt{8,286} \approx 2,878$ с
Время звука: $t_{зв} = \frac{40,6}{330} \approx 0,123$ с
Общее время: $t_{общ} = 2,878 + 0,123 = 3,001 \approx 3$ с. Решение верное.

Ответ: глубина подземной полости составляет примерно 40,6 м.

1250. Парашютист покинул летящий самолёт на высоте 3 км и через 3 мин приземлился. Определите время его снижения до раскрытия парашюта и с раскрытым парашютом, если средняя скорость снижения с раскрытым парашютом равна 6 м/с. Сопротивлением воздуха при снижении без парашюта пренебречь. Считать, что $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Для решения задачи разобьем движение парашютиста на два этапа и введем обозначения.

Этап 1: Снижение до раскрытия парашюта (свободное падение).
Время этого этапа обозначим как $t_1$, а пройденную высоту как $h_1$.

Этап 2: Снижение с раскрытым парашютом.
Время этого этапа обозначим как $t_2$, а пройденную высоту как $h_2$.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
Общая высота снижения: $H = h_1 + h_2 = 3 \text{ км} = 3000 \text{ м}$.
Общее время снижения: $t_{общ} = t_1 + t_2 = 3 \text{ мин} = 180 \text{ с}$.
Средняя скорость на втором этапе: $v_2 = 6 \text{ м/с}$.
Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Запишем уравнения, описывающие движение на каждом этапе. На первом этапе, пренебрегая сопротивлением воздуха, движение является свободным падением с нулевой начальной вертикальной скоростью. Пройденный путь $h_1$ за время $t_1$ описывается формулой:

$h_1 = \frac{gt_1^2}{2}$

На втором этапе парашютист снижается со средней скоростью $v_2$. Пройденный за время $t_2$ путь $h_2$ равен:

$h_2 = v_2 \cdot t_2$

Теперь мы можем составить систему уравнений, используя общие значения высоты и времени:

1) $t_1 + t_2 = 180$

2) $h_1 + h_2 = 3000$

Подставим формулы для $h_1$ и $h_2$ во второе уравнение:

$\frac{gt_1^2}{2} + v_2 t_2 = 3000$

Из первого уравнения выразим $t_2$ через $t_1$: $t_2 = 180 - t_1$. Подставим это выражение в уравнение высоты:

$\frac{gt_1^2}{2} + v_2(180 - t_1) = 3000$

Подставим числовые значения $g = 9,8$ м/с² и $v_2 = 6$ м/с:

$\frac{9,8 t_1^2}{2} + 6(180 - t_1) = 3000$

$4,9 t_1^2 + 1080 - 6t_1 = 3000$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $at^2 + bt + c = 0$:

$4,9 t_1^2 - 6t_1 + 1080 - 3000 = 0$

$4,9 t_1^2 - 6t_1 - 1920 = 0$

Для нахождения $t_1$ решим это квадратное уравнение. Сначала вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 4,9 \cdot (-1920) = 36 + 19,6 \cdot 1920 = 36 + 37632 = 37668$

Так как время не может быть отрицательным, нас интересует только положительный корень уравнения, который находится по формуле $t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{6 + \sqrt{37668}}{2 \cdot 4,9} = \frac{6 + 194,082...}{9,8} \approx 20,416... \text{ с}$

Найденное значение $t_1$ – это время его снижения до раскрытия парашюта. Округлим результат до десятых: $t_1 \approx 20,4 \text{ с}$.

Теперь можем найти время его снижения с раскрытым парашютом, используя соотношение $t_2 = 180 - t_1$:

$t_2 \approx 180 - 20,4 = 159,6 \text{ с}$

Ответ: время снижения до раскрытия парашюта составляет примерно $20,4$ с, а время снижения с раскрытым парашютом – примерно $159,6$ с.