Страница 298 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1218. Старинная задача.

Для молотьбы хлеба были наняты несколько рабочих. Если бы их было тремя меньше, то они проработали бы двумя днями дольше. Если бы наняли четырьмя рабочими больше, то работа была бы окончена двумя днями раньше. Сколько было рабочих и сколько дней они проработали?

Пусть $x$ — первоначальное количество рабочих, а $y$ — количество дней, за которое они должны были выполнить работу. Общий объем работы, который является постоянной величиной, можно выразить как произведение количества рабочих на количество дней: $A = x \cdot y$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: если бы рабочих было на троих меньше ($x - 3$), то они проработали бы на два дня дольше ($y + 2$). Объем работы остался бы тем же:

$(x - 3)(y + 2) = xy$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$xy + 2x - 3y - 6 = xy$

$2x - 3y = 6$

Второе условие: если бы наняли на четырех рабочих больше ($x + 4$), работа была бы окончена на два дня раньше ($y - 2$). Объем работы также не изменился бы:

$(x + 4)(y - 2) = xy$

Раскроем скобки и упростим это уравнение:

$xy - 2x + 4y - 8 = xy$

$-2x + 4y = 8$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ -2x + 4y = 8 \end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы исключить переменную $x$:

$(2x - 3y) + (-2x + 4y) = 6 + 8$

$y = 14$

Мы нашли количество дней. Теперь подставим значение $y = 14$ в первое уравнение системы, чтобы найти количество рабочих $x$:

$2x - 3(14) = 6$

$2x - 42 = 6$

$2x = 48$

$x = 24$

Таким образом, первоначально было 24 рабочих, и они проработали 14 дней.

Проверим решение. Изначальный общий объем работы: $24 \cdot 14 = 336$ человеко-дней.

1. $24 - 3 = 21$ рабочий, $14 + 2 = 16$ дней. Объем работы: $21 \cdot 16 = 336$. Условие выполняется.

2. $24 + 4 = 28$ рабочих, $14 - 2 = 12$ дней. Объем работы: $28 \cdot 12 = 336$. Условие выполняется.

Ответ: было 24 рабочих, и они проработали 14 дней.

1219. Найдите такие четыре числа, чтобы суммы, образованные тремя из них, были соответственно равны 20, 22, 24, 27.

Пусть искомые четыре числа — это $a$, $b$, $c$ и $d$.

По условию, суммы, образованные тремя из этих чисел, равны 20, 22, 24 и 27. Обозначим сумму всех четырех чисел как $S$:

$S = a + b + c + d$

Тогда каждую из заданных сумм трех чисел можно выразить через $S$ и одно из искомых чисел. Например, сумма $a + b + c$ равна $S - d$. Таким образом, мы имеем четыре суммы:

$S - a$
$S - b$
$S - c$
$S - d$

В совокупности эти четыре суммы равны набору чисел {20, 22, 24, 27}.

Сложим все эти четыре выражения:

$(S - a) + (S - b) + (S - c) + (S - d) = 4S - (a + b + c + d)$

Так как $S = a + b + c + d$, мы можем упростить выражение:

$4S - S = 3S$

Сумма этих выражений также должна быть равна сумме данных нам чисел:

$20 + 22 + 24 + 27 = 93$

Теперь мы можем приравнять оба результата и найти $S$:

$3S = 93$

$S = \frac{93}{3} = 31$

Итак, сумма всех четырех чисел равна 31.

Теперь, зная общую сумму $S$, мы можем найти каждое из чисел. Каждое число равно общей сумме $S$ минус соответствующая сумма трех остальных чисел. Суммы трех остальных чисел как раз и даны в условии.

Первое число: $31 - 27 = 4$
Второе число: $31 - 24 = 7$
Третье число: $31 - 22 = 9$
Четвертое число: $31 - 20 = 11$

Таким образом, мы получили искомые числа: 4, 7, 9 и 11.

Проведем проверку. Найдем все возможные суммы по три числа из набора {4, 7, 9, 11}:

$4 + 7 + 9 = 20$
$4 + 7 + 11 = 22$
$4 + 9 + 11 = 24$
$7 + 9 + 11 = 27$

Полученные суммы совпадают с суммами, данными в условии задачи.

Ответ: 4, 7, 9, 11.

1220. Суммы сторон четырёхугольника, взятых последовательно по 3, равны 130, 135, 147, 152 см. Определите длину каждой стороны четырёхугольника.

Обозначим последовательные стороны четырёхугольника через $a, b, c$ и $d$.

По условию задачи, суммы сторон, взятых последовательно по три, равны 130, 135, 147 и 152 см. Запишем это в виде системы из четырёх уравнений с четырьмя неизвестными:

$a + b + c = 130$

$b + c + d = 135$

$c + d + a = 147$

$d + a + b = 152$

Чтобы найти периметр четырёхугольника, сложим все четыре уравнения системы:

$(a + b + c) + (b + c + d) + (c + d + a) + (d + a + b) = 130 + 135 + 147 + 152$

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения:

$3a + 3b + 3c + 3d = 564$

Вынесем общий множитель 3 за скобки. Сумма в скобках $(a + b + c + d)$ является периметром четырёхугольника ($P$).

$3(a + b + c + d) = 564$

Отсюда найдём периметр:

$P = a + b + c + d = \frac{564}{3} = 188$ см.

Теперь, зная периметр и суммы трёх сторон, мы можем легко найти длину каждой стороны. Каждая сторона равна разности между периметром и суммой трёх других сторон.

Найдём сторону $d$, вычтя из периметра сумму $a + b + c$:

$d = P - (a + b + c) = 188 - 130 = 58$ см.

Найдём сторону $a$, вычтя из периметра сумму $b + c + d$:

$a = P - (b + c + d) = 188 - 135 = 53$ см.

Найдём сторону $b$, вычтя из периметра сумму $c + d + a$:

$b = P - (c + d + a) = 188 - 147 = 41$ см.

Найдём сторону $c$, вычтя из периметра сумму $d + a + b$:

$c = P - (d + a + b) = 188 - 152 = 36$ см.

Ответ: длины сторон четырёхугольника равны 53 см, 41 см, 36 см и 58 см.

1221. Три тракторные бригады вместе вспахивают поле за 4 дня. Первая и вторая бригады вместе могут вспахать это поле за 6 дней, а первая и третья вместе — за 8 дней. Какая бригада — вторая или третья — может вспахать больше за день и во сколько раз?

Для решения этой задачи примем всю работу по вспашке поля за 1. Тогда производительность каждой бригады будет измеряться в долях поля, вспахиваемых за один день.

Обозначим производительность первой, второй и третьей бригад как $P_1$, $P_2$ и $P_3$ соответственно. На основе данных из условия задачи мы можем составить следующие равенства:

1. Совместная производительность трех бригад: $P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{4}$ поля в день.
2. Совместная производительность первой и второй бригад: $P_1 + P_2 = \frac{1}{6}$ поля в день.
3. Совместная производительность первой и третьей бригад: $P_1 + P_3 = \frac{1}{8}$ поля в день.

Сначала найдем производительность третьей бригады ($P_3$). Для этого из общей производительности трех бригад вычтем производительность первой и второй бригад:
$P_3 = (P_1 + P_2 + P_3) - (P_1 + P_2) = \frac{1}{4} - \frac{1}{6}$
Приводим дроби к общему знаменателю 12:
$P_3 = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$
Итак, третья бригада вспахивает $\frac{1}{12}$ поля за день.

Теперь найдем производительность второй бригады ($P_2$). Для этого из общей производительности трех бригад вычтем производительность первой и третьей бригад:
$P_2 = (P_1 + P_2 + P_3) - (P_1 + P_3) = \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$
Приводим дроби к общему знаменателю 8:
$P_2 = \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$
Итак, вторая бригада вспахивает $\frac{1}{8}$ поля за день.

Теперь необходимо сравнить производительность второй ($\frac{1}{8}$) и третьей ($\frac{1}{12}$) бригад. Из двух дробей с одинаковым числителем (1) больше та, у которой знаменатель меньше. Поскольку $8 < 12$, то $\frac{1}{8} > \frac{1}{12}$. Следовательно, вторая бригада вспахивает за день больше, чем третья.

Чтобы определить, во сколько раз производительность второй бригады больше, разделим ее производительность на производительность третьей бригады:
$\frac{P_2}{P_3} = \frac{1/8}{1/12} = \frac{1}{8} \cdot \frac{12}{1} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: вторая бригада за день может вспахать больше, чем третья, в 1,5 раза.

1222. Среди абитуриентов, выдержавших приёмные экзамены в вуз, оценку «отлично» получили: по математике — 96 абитуриентов, по физике — 74, по русскому языку — 84, по математике или физике — 150, по математике или русскому языку — 152, по физике или русскому языку — 132, по всем трём предметам — 8. Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятёрку? Сколько среди них получивших одну пятёрку?

Для решения задачи введем обозначения для множеств абитуриентов, получивших оценку «отлично» по каждому предмету:

• $М$ — множество абитуриентов, получивших «отлично» по математике.
• $Ф$ — множество абитуриентов, получивших «отлично» по физике.
• $Р$ — множество абитуриентов, получивших «отлично» по русскому языку.

Исходя из условия, нам известны следующие данные (мощности множеств):

• $|М| = 96$
• $|Ф| = 74$
• $|Р| = 84$
• $|М \cup Ф| = 150$
• $|М \cup Р| = 152$
• $|Ф \cup Р| = 132$
• $|М \cap Ф \cap Р| = 8$

Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятёрку?

Это количество соответствует мощности объединения трёх множеств $|М \cup Ф \cup Р|$. Для его вычисления используется формула включений-исключений:
$|М \cup Ф \cup Р| = |М| + |Ф| + |Р| - (|М \cap Ф| + |М \cap Р| + |Ф \cap Р|) + |М \cap Ф \cap Р|$
Прежде всего, нам нужно найти мощности попарных пересечений множеств. Для этого воспользуемся формулой для объединения двух множеств $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$, из которой можно выразить мощность пересечения: $|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$.
1. Найдём количество абитуриентов, получивших «отлично» одновременно по математике и физике:
$|М \cap Ф| = |М| + |Ф| - |М \cup Ф| = 96 + 74 - 150 = 170 - 150 = 20$.
2. Найдём количество абитуриентов, получивших «отлично» одновременно по математике и русскому языку:
$|М \cap Р| = |М| + |Р| - |М \cup Р| = 96 + 84 - 152 = 180 - 152 = 28$.
3. Найдём количество абитуриентов, получивших «отлично» одновременно по физике и русскому языку:
$|Ф \cap Р| = |Ф| + |Р| - |Ф \cup Р| = 74 + 84 - 132 = 158 - 132 = 26$.
Теперь у нас есть все необходимые данные для основной формулы. Подставим их:
$|М \cup Ф \cup Р| = (96 + 74 + 84) - (20 + 28 + 26) + 8 = 254 - 74 + 8 = 188$.
Ответ: 188.

Сколько среди них получивших одну пятёрку?

Чтобы найти количество абитуриентов, получивших ровно одну пятёрку, нужно из общего числа абитуриентов, получивших хотя бы одну пятёрку (которое мы нашли в предыдущем пункте), вычесть тех, кто получил ровно две и ровно три пятёрки.
Количество абитуриентов, получивших три пятёрки ($N_3$), дано в условии:
$N_3 = |М \cap Ф \cap Р| = 8$.
Теперь найдём количество абитуриентов, получивших ровно две пятёрки ($N_2$). Для этого из каждого попарного пересечения нужно вычесть пересечение всех трёх множеств (то есть тех, кто получил три пятёрки):
- Получивших «отлично» ровно по математике и физике: $|М \cap Ф| - N_3 = 20 - 8 = 12$.
- Получивших «отлично» ровно по математике и русскому языку: $|М \cap Р| - N_3 = 28 - 8 = 20$.
- Получивших «отлично» ровно по физике и русскому языку: $|Ф \cap Р| - N_3 = 26 - 8 = 18$.
Общее количество абитуриентов, получивших ровно две пятёрки, равно сумме этих значений:
$N_2 = 12 + 20 + 18 = 50$.
Теперь можем найти искомое количество абитуриентов, получивших ровно одну пятёрку ($N_1$):
$N_1 = |М \cup Ф \cup Р| - N_2 - N_3 = 188 - 50 - 8 = 130$.
Ответ: 130.

1223. На заводе сначала работали 2 цеха — первый и второй. Затем был пущен третий цех, в результате чего завод увеличил ежемесячный выпуск продукции в 1,6 раза. Во сколько раз больше продукции дает в месяц третий цех, чем второй, если известно, что за 2 месяца первый и третий цеха вместе выпускают столько продукции, сколько второй за полгода?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие ежемесячную производительность (объем выпускаемой продукции) каждого цеха.
Пусть $x$ – ежемесячная производительность первого цеха.
Пусть $y$ – ежемесячная производительность второго цеха.
Пусть $z$ – ежемесячная производительность третьего цеха.

Изначально, когда работали только первый и второй цеха, общая ежемесячная производительность завода составляла $x + y$. После того как был пущен третий цех, общая производительность стала $x + y + z$. Согласно условию, ежемесячный выпуск продукции увеличился в 1,6 раза. На основе этого составим первое уравнение:
$x + y + z = 1.6 \cdot (x + y)$

Упростим это уравнение, чтобы выразить производительность третьего цеха $z$ через производительности первых двух:
$x + y + z = 1.6x + 1.6y$
$z = 1.6x - x + 1.6y - y$
$z = 0.6x + 0.6y$

Далее, из второго условия известно, что за 2 месяца первый и третий цеха вместе выпускают столько же продукции, сколько второй цех выпускает за полгода (то есть за 6 месяцев). Составим второе уравнение:
$2 \cdot (x + z) = 6 \cdot y$

Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 2:
$x + z = 3y$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $z = 0.6x + 0.6y$
2) $x + z = 3y$

Основной вопрос задачи — найти, во сколько раз больше продукции дает в месяц третий цех, чем второй. Это означает, что нам нужно найти отношение $\frac{z}{y}$. Для этого необходимо исключить переменную $x$ из системы уравнений. Выразим $x$ из второго уравнения:
$x = 3y - z$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:
$z = 0.6 \cdot ((3y - z) + y)$
$z = 0.6 \cdot (4y - z)$
$z = 2.4y - 0.6z$

Перенесем все слагаемые с переменной $z$ в левую часть уравнения, а слагаемые с $y$ оставим в правой:
$z + 0.6z = 2.4y$
$1.6z = 2.4y$

Теперь мы можем найти искомое отношение $\frac{z}{y}$:
$\frac{z}{y} = \frac{2.4}{1.6}$
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 10:
$\frac{z}{y} = \frac{24}{16}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 8:
$\frac{z}{y} = \frac{24 \div 8}{16 \div 8} = \frac{3}{2} = 1.5$

Следовательно, производительность третьего цеха в 1,5 раза больше производительности второго.

Ответ: в 1,5 раза.

1224. Для производства одного электродвигателя типа А используется 2 кг сплава, содержащего 20% свинца и 80% меди. Для производства одного электродвигателя типа В используется 2 кг сплава, содержащего 60% свинца и 40% меди. Прибыль от производства одного электродвигателя типа А или типа В составляет соответственно 8 р. или 12 р. Сколько нужно изготовить электродвигателей каждого типа, чтобы получить 1000 р. прибыли, израсходовав при этом не более 84 кг свинца и не более 111 кг меди?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество изготовленных электродвигателей типа А, а $y$ — количество изготовленных электродвигателей типа B. Поскольку речь идет о количестве изделий, $x$ и $y$ должны быть целыми и неотрицательными числами.

Составление математической модели

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений и неравенств.

1. Условие по прибыли.

Прибыль от производства одного двигателя типа А составляет 8 р., а типа В — 12 р. Общая прибыль должна составить 1000 р. Получаем уравнение:

$8x + 12y = 1000$

Для удобства разделим обе части уравнения на 4:

$2x + 3y = 250$

2. Условие по расходу свинца.

На один двигатель типа А расходуется $2 \cdot 0.20 = 0.4$ кг свинца.

На один двигатель типа В расходуется $2 \cdot 0.60 = 1.2$ кг свинца.

Общий расход свинца не должен превышать 84 кг. Получаем неравенство:

$0.4x + 1.2y \le 84$

Умножим обе части неравенства на 10, чтобы избавиться от дробей, а затем разделим на 4:

$4x + 12y \le 840$

$x + 3y \le 210$

3. Условие по расходу меди.

На один двигатель типа А расходуется $2 \cdot 0.80 = 1.6$ кг меди.

На один двигатель типа В расходуется $2 \cdot 0.40 = 0.8$ кг меди.

Общий расход меди не должен превышать 111 кг. Получаем неравенство:

$1.6x + 0.8y \le 111$

Умножим обе части неравенства на 10, а затем разделим на 2:

$16x + 8y \le 1110$

$8x + 4y \le 555$

Решение системы

Итак, нам нужно найти целые неотрицательные решения системы:

$\begin{cases} 2x + 3y = 250 \\ x + 3y \le 210 \\ 8x + 4y \le 555 \\ x \ge 0, y \ge 0 \\ x, y \in \mathbb{Z} \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения: $2x = 250 - 3y$, следовательно, $x = 125 - 1.5y$.

Поскольку $x$ должно быть целым числом, произведение $1.5y$ должно либо быть целым, либо иметь дробную часть 0.5. Это возможно только если $y$ является четным числом.

Теперь подставим выражение для $x$ в неравенства:

1. Подстановка в $x + 3y \le 210$:

$(125 - 1.5y) + 3y \le 210$

$125 + 1.5y \le 210$

$1.5y \le 210 - 125$

$1.5y \le 85$

$y \le \frac{85}{1.5}$

$y \le 56.66...$

2. Подстановка в $8x + 4y \le 555$:

$8(125 - 1.5y) + 4y \le 555$

$1000 - 12y + 4y \le 555$

$1000 - 8y \le 555$

$1000 - 555 \le 8y$

$445 \le 8y$

$y \ge \frac{445}{8}$

$y \ge 55.625$

Мы получили для $y$ следующие ограничения: $55.625 \le y \le 56.66...$.

Так как $y$ должно быть четным целым числом, единственное значение, удовлетворяющее этому диапазону, — это $y=56$.

Теперь найдем соответствующее значение $x$:

$x = 125 - 1.5 \cdot 56 = 125 - 84 = 41$

Таким образом, возможное решение: 41 электродвигатель типа А и 56 электродвигателей типа B.

Проверка решения

Проверим, удовлетворяет ли найденная пара чисел $(41, 56)$ всем исходным условиям.

• Прибыль: $8 \cdot 41 + 12 \cdot 56 = 328 + 672 = 1000$ р. Условие выполнено.
• Расход свинца: $0.4 \cdot 41 + 1.2 \cdot 56 = 16.4 + 67.2 = 83.6$ кг. Так как $83.6 \le 84$, условие выполнено.
• Расход меди: $1.6 \cdot 41 + 0.8 \cdot 56 = 65.6 + 44.8 = 110.4$ кг. Так как $110.4 \le 111$, условие выполнено.

Все условия задачи соблюдены.

Ответ: нужно изготовить 41 электродвигатель типа А и 56 электродвигателей типа B.