Страница 304 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1265. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 525 км, выехал мотоциклист. Через некоторое время из пункта В в пункт А выехала машина, которая встретилась с мотоциклистом в тот момент, когда он проехал $\frac{3}{7}$ расстояния от пункта А до пункта В. Мотоциклист и машина продолжали двигаться дальше, и мотоциклист приехал в пункт В через 3 ч после того, как машина прибыла в пункт А. Если бы машина выехала из пункта В на 1,5 ч раньше, чем в действительности, то она встретилась бы с мотоциклистом на расстоянии 180 км от пункта А. Определите скорость мотоциклиста.

Для решения задачи введем следующие переменные:

• $v_м$ — скорость мотоциклиста (в км/ч);
• $v_а$ — скорость машины (в км/ч);
• $S = 525$ км — расстояние между пунктами A и B;
• $t_з$ — время (в часах), на которое машина выехала позже мотоциклиста.

Анализ реальной ситуации, описанной в задаче

Первая встреча транспортных средств произошла в тот момент, когда мотоциклист проехал $\frac{3}{7}$ всего пути. Найдем это расстояние:

$S_1 = \frac{3}{7} \times 525 = 3 \times 75 = 225$ км.

Время, которое мотоциклист был в пути до встречи, составляет $t_1 = \frac{225}{v_м}$.

За это же время машина, выехавшая из пункта B, проехала оставшееся расстояние: $S_2 = 525 - 225 = 300$ км. Поскольку машина выехала на $t_з$ часов позже, ее время в пути до встречи равно $t_1 - t_з$. Таким образом, $\frac{300}{v_а} = \frac{225}{v_м} - t_з$. Из этого соотношения можно выразить время задержки $t_з$:

$t_з = \frac{225}{v_м} - \frac{300}{v_а}$ (1)

Далее, из условия известно, что мотоциклист приехал в B на 3 часа позже, чем машина прибыла в A. Общее время движения мотоциклиста по всему маршруту: $T_м = \frac{525}{v_м}$. Общее время движения машины: $T_а = \frac{525}{v_а}$. Момент прибытия мотоциклиста, отсчитывая от его старта, равен $T_м$. Момент прибытия машины, отсчитывая от старта мотоциклиста, равен $t_з + T_а$. Составим уравнение на основе условия:

$T_м = (t_з + T_а) + 3$

$\frac{525}{v_м} = t_з + \frac{525}{v_а} + 3$

Выразим $t_з$ из этого уравнения:

$t_з = \frac{525}{v_м} - \frac{525}{v_а} - 3$ (2)

Теперь приравняем правые части уравнений (1) и (2) для $t_з$, чтобы получить уравнение, связывающее скорости $v_м$ и $v_а$:

$\frac{225}{v_м} - \frac{300}{v_а} = \frac{525}{v_м} - \frac{525}{v_а} - 3$

$3 = \frac{525}{v_м} - \frac{225}{v_м} - \frac{525}{v_а} + \frac{300}{v_а}$

$3 = \frac{300}{v_м} - \frac{225}{v_а}$ (I)

Анализ гипотетической ситуации

Рассмотрим второе условие: если бы машина выехала на 1,5 ч раньше, то время задержки ее старта составило бы $t_з' = t_з - 1,5$ ч. Встреча бы произошла на расстоянии 180 км от A.Это значит, что мотоциклист проехал бы $S_м' = 180$ км за время $t_м' = \frac{180}{v_м}$.Машина за свое время $t_а'$ проехала бы $S_а' = 525 - 180 = 345$ км. Время движения машины $t_а' = \frac{345}{v_а}$.Связь между временами движения в этом случае: $t_м' = t_а' + t_з'$, или $\frac{180}{v_м} = \frac{345}{v_а} + (t_з - 1,5)$.Выразим отсюда $t_з$:

$t_з = \frac{180}{v_м} - \frac{345}{v_а} + 1,5$ (3)

Приравняем выражения для $t_з$ из уравнений (1) и (3):

$\frac{225}{v_м} - \frac{300}{v_а} = \frac{180}{v_м} - \frac{345}{v_а} + 1,5$

$\frac{225}{v_м} - \frac{180}{v_м} + \frac{345}{v_а} - \frac{300}{v_а} = 1,5$

$\frac{45}{v_м} + \frac{45}{v_а} = 1,5$

Разделив обе части уравнения на 45, получим второе уравнение для скоростей:

$\frac{1}{v_м} + \frac{1}{v_а} = \frac{1,5}{45} = \frac{3/2}{45} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$ (II)

Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений (I) и (II) с двумя неизвестными. Для удобства решения введем замены: $x = \frac{1}{v_м}$ и $y = \frac{1}{v_а}$.

$\begin{cases} 300x - 225y = 3 \\ x + y = \frac{1}{30} \end{cases}$

Из второго уравнения выражаем $y = \frac{1}{30} - x$ и подставляем в первое:

$300x - 225(\frac{1}{30} - x) = 3$

$300x - \frac{225}{30} + 225x = 3$

$525x - 7,5 = 3$

$525x = 10,5$

$x = \frac{10,5}{525} = \frac{21}{1050} = \frac{1}{50}$

Поскольку $x = \frac{1}{v_м}$, находим искомую скорость мотоциклиста:

$v_м = \frac{1}{x} = 50$ км/ч.

Ответ: 50 км/ч.

1266. Проливной дождь лил несколько часов подряд. Когда он наполнил некоторую часть открытого бассейна, включили насос для откачки воды. Он откачал воду за 5 ч, на протяжении которых дождь продолжал лить. Если бы вместо первого насоса включили второй, мощность которого в 2 раза больше, то он откачал бы воду за 2 ч. За сколько часов откачали бы воду два насоса при совместной работе? Считайте процессы наполнения бассейна и откачки воды равномерными.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $V$ — начальный объем воды в бассейне в момент включения насоса.
• $v_1$ — производительность (скорость откачки) первого насоса (объем/час).
• $v_2$ — производительность второго насоса (объем/час).
• $v_д$ — скорость, с которой дождь наполняет бассейн (объем/час).

По условию задачи, все процессы равномерны, а мощность второго насоса в 2 раза больше мощности первого, следовательно, $v_2 = 2v_1$.

Когда насос работает, он борется как с уже имеющейся водой, так и с той, что добавляет дождь. Результирующая скорость откачки равна разности между производительностью насоса и скоростью наполнения от дождя.

1. Работа первого насоса.

Первый насос откачал всю воду за 5 часов. Это означает, что за 5 часов был откачан начальный объем $V$. Результирующая скорость откачки для первого насоса составляет $(v_1 - v_д)$. Таким образом, можно составить уравнение:

$(v_1 - v_д) \cdot 5 = V$

2. Работа второго насоса.

Если бы включили второй насос, он бы справился за 2 часа. Его производительность $v_2 = 2v_1$. Результирующая скорость откачки для второго насоса составляет $(v_2 - v_д)$ или $(2v_1 - v_д)$. Составим второе уравнение:

$(2v_1 - v_д) \cdot 2 = V$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений. Приравняем их правые части, так как в обоих случаях откачивается один и тот же начальный объем $V$:

$(v_1 - v_д) \cdot 5 = (2v_1 - v_д) \cdot 2$

Раскроем скобки:

$5v_1 - 5v_д = 4v_1 - 2v_д$

Соберем переменные $v_1$ в одной части, а $v_д$ — в другой:

$5v_1 - 4v_1 = 5v_д - 2v_д$

$v_1 = 3v_д$

Это означает, что производительность первого насоса в 3 раза больше скорости наполнения бассейна дождем.

Теперь выразим объем $V$ через одну из переменных, например, через $v_д$. Подставим $v_1 = 3v_д$ в первое уравнение:

$(3v_д - v_д) \cdot 5 = V$

$2v_д \cdot 5 = V$

$V = 10v_д$

Итак, мы выразили все величины через скорость дождя $v_д$:

• Начальный объем воды: $V = 10v_д$
• Производительность первого насоса: $v_1 = 3v_д$
• Производительность второго насоса: $v_2 = 2v_1 = 2(3v_д) = 6v_д$

4. Совместная работа двух насосов.

Найдем, за какое время $t$ два насоса откачают воду, работая вместе. Их суммарная производительность равна:

$v_{1+2} = v_1 + v_2 = 3v_д + 6v_д = 9v_д$

Результирующая скорость откачки при совместной работе (с учетом продолжающегося дождя) будет:

$v_{рез} = v_{1+2} - v_д = 9v_д - v_д = 8v_д$

Чтобы откачать начальный объем $V$ с результирующей скоростью $v_{рез}$, потребуется время $t$, которое можно найти из уравнения:

$v_{рез} \cdot t = V$

Подставим известные нам выражения:

$8v_д \cdot t = 10v_д$

Сократим на $v_д$ (так как скорость дождя не равна нулю):

$8t = 10$

$t = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25$ часа.

Можно также перевести это время в часы и минуты: 1,25 часа = 1 час и 0,25 * 60 = 15 минут.

Ответ: 1,25 часа.

1267. a) На лугу растёт трава. 20 коров съедят всю траву за 21 день, а 30 коров — за 7 дней. За сколько дней всю траву на лугу могли бы съесть 22 коровы?

б) На лугу растёт трава. 6 коров съедят всю траву за 6 дней, а 7 коров — за 4 дня. Сколько коров могли бы съесть всю траву на лугу за 2 дня?

в) На лугу растёт трава. 60 коров могли бы прокормиться на этом лугу в течение 14 дней, а 50 коров — в течение 28 дней. Сколько коров могли бы пастись на этом лугу постоянно, пока растёт трава?

Эти задачи решаются с помощью системы уравнений. Введем следующие переменные:

• $V$ — первоначальный запас травы на лугу (в условных единицах, например, в порциях, которые одна корова съедает за день).
• $p$ — скорость роста травы (в тех же порциях в день).
• $n$ — количество коров.
• $d$ — количество дней.

Количество травы, которое съедят $n$ коров за $d$ дней, равно $n \times d$. Количество травы, доступное на лугу за $d$ дней, складывается из первоначального запаса $V$ и травы, выросшей за это время, то есть $p \times d$. Таким образом, основное уравнение, связывающее эти величины, имеет вид: $n \times d = V + p \times d$

а)

Используя данные из условия, составим систему из двух уравнений:

1. 20 коров съедают всю траву за 21 день: $20 \times 21 = V + p \times 21 \implies 420 = V + 21p$

2. 30 коров съедают всю траву за 7 дней: $30 \times 7 = V + p \times 7 \implies 210 = V + 7p$

Теперь решим эту систему. Вычтем второе уравнение из первого: $(420 - 210) = (V + 21p) - (V + 7p)$ $210 = 14p$ $p = \frac{210}{14} = 15$

Скорость роста травы составляет 15 порций в день. Подставим это значение в любое из уравнений, чтобы найти $V$. Например, во второе: $210 = V + 7 \times 15$ $210 = V + 105$ $V = 210 - 105 = 105$

Начальный запас травы равен 105 порциям. Теперь найдем, за сколько дней ($d_3$) 22 коровы съедят всю траву: $22 \times d_3 = V + p \times d_3$ $22d_3 = 105 + 15d_3$ $22d_3 - 15d_3 = 105$ $7d_3 = 105$ $d_3 = \frac{105}{7} = 15$

Ответ: 22 коровы съедят всю траву за 15 дней.

б)

Аналогично пункту а), составим систему уравнений на основе данных:

1. 6 коров съедают траву за 6 дней: $6 \times 6 = V + p \times 6 \implies 36 = V + 6p$

2. 7 коров съедают траву за 4 дня: $7 \times 4 = V + p \times 4 \implies 28 = V + 4p$

Вычтем второе уравнение из первого для нахождения $p$: $(36 - 28) = (V + 6p) - (V + 4p)$ $8 = 2p$ $p = 4$

Скорость роста травы — 4 порции в день. Найдем начальный запас травы $V$, подставив $p$ во второе уравнение: $28 = V + 4 \times 4$ $28 = V + 16$ $V = 28 - 16 = 12$

Начальный запас травы — 12 порций. Теперь найдем, сколько коров ($n_3$) съедят всю траву за 2 дня: $n_3 \times 2 = V + p \times 2$ $2n_3 = 12 + 4 \times 2$ $2n_3 = 12 + 8$ $2n_3 = 20$ $n_3 = \frac{20}{2} = 10$

Ответ: 10 коров съедят всю траву за 2 дня.

в)

Составим систему уравнений для этого случая:

1. 60 коров кормятся 14 дней: $60 \times 14 = V + p \times 14 \implies 840 = V + 14p$

2. 50 коров кормятся 28 дней: $50 \times 28 = V + p \times 28 \implies 1400 = V + 28p$

Чтобы решить эту систему, можно умножить первое уравнение на 2: $2 \times 840 = 2 \times (V + 14p) \implies 1680 = 2V + 28p$

Теперь вычтем второе исходное уравнение из этого нового уравнения: $(1680 - 1400) = (2V + 28p) - (V + 28p)$ $280 = V$

Начальный запас травы равен 280 порциям. Подставим $V$ в первое уравнение, чтобы найти $p$: $840 = 280 + 14p$ $840 - 280 = 14p$ $560 = 14p$ $p = \frac{560}{14} = 40$

Вопрос заключается в том, сколько коров могут пастись на лугу постоянно. Это означает, что коровы должны съедать траву с той же скоростью, с которой она растет, не затрагивая первоначальный запас. Таким образом, количество съеденной травы в день должно быть равно количеству выросшей травы в день.

Количество коров $n_{пост}$ должно быть равно скорости роста травы $p$. $n_{пост} = p = 40$

Ответ: 40 коров могли бы пастись на этом лугу постоянно.

1268. Задача И. Ньютона. Двенадцать быков съедают $3\frac{1}{3}$ югера пастбища за 4 недели; 21 бык съедает 10 югеров такого же пастбища за 9 недель. Сколько быков съедят траву на 24 югерах пастбища за 18 недель?

Для решения этой классической задачи необходимо учесть, что трава на пастбище не только имеется в начальный момент, но и постоянно растет с определенной скоростью. Введем переменные для математического описания процесса.

Пусть y – это начальное количество травы на 1 югере пастбища (в условных единицах), r – это скорость роста травы на 1 югере за 1 неделю (в тех же условных единицах), а c – это скорость поедания травы одним быком за одну неделю. Для удобства расчетов примем, что один бык съедает одну условную единицу травы за одну неделю, то есть $c=1$.

Общее количество травы, доступное на пастбище площадью $A$ в течение времени $t$, состоит из начального запаса ($A \cdot y$) и прироста за это время ($A \cdot r \cdot t$). Таким образом, общее количество травы $G$ на пастбище равно $G = A \cdot y + A \cdot r \cdot t$.

С другой стороны, $N$ быков за время $t$ съедают $N \cdot c \cdot t$ травы. Так как мы приняли $c=1$, они съедают $N \cdot t$ условных единиц травы. Поскольку по условию быки съедают всю траву, мы можем приравнять эти два выражения, получив основное уравнение задачи:

$N \cdot t = A \cdot (y + r \cdot t)$

Теперь применим это уравнение к данным в задаче условиям.

Анализ первого условия

Дано: 12 быков ($N_1=12$) съедают траву на пастбище площадью $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ югера ($A_1 = \frac{10}{3}$) за 4 недели ($t_1=4$). Подставим эти значения в наше основное уравнение:

$12 \cdot 4 = \frac{10}{3} \cdot (y + r \cdot 4)$

$48 = \frac{10}{3}y + \frac{40}{3}r$

Чтобы избавиться от дробей в знаменателе, умножим обе части уравнения на 3:

$144 = 10y + 40r$ (Уравнение 1)

Анализ второго условия

Дано: 21 бык ($N_2=21$) съедает траву на пастбище площадью 10 югеров ($A_2=10$) за 9 недель ($t_2=9$). Подставляем эти значения:

$21 \cdot 9 = 10 \cdot (y + r \cdot 9)$

$189 = 10y + 90r$ (Уравнение 2)

Решение системы уравнений

В результате мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $y$ и $r$:

$\begin{cases} 10y + 40r = 144 \\ 10y + 90r = 189 \end{cases}$

Для решения системы вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(10y + 90r) - (10y + 40r) = 189 - 144$

$50r = 45$

Отсюда находим скорость роста травы $r$:

$r = \frac{45}{50} = \frac{9}{10} = 0.9$

Теперь, зная значение $r$, подставим его в уравнение (1), чтобы найти начальное количество травы $y$:

$10y + 40 \cdot (0.9) = 144$

$10y + 36 = 144$

$10y = 144 - 36$

$10y = 108$

$y = \frac{108}{10} = 10.8$

Таким образом, мы определили, что начальный запас травы на одном югере составляет $10.8$ условных единиц, а скорость ее роста – $0.9$ условных единиц в неделю на югер.

Нахождение ответа на вопрос задачи

Теперь мы можем ответить на главный вопрос: сколько быков ($N_3$) съедят траву на 24 югерах ($A_3=24$) за 18 недель ($t_3=18$)?

Снова воспользуемся нашим основным уравнением, подставив в него известные значения $A_3$, $t_3$, а также найденные нами $y$ и $r$:

$N_3 \cdot t_3 = A_3 \cdot (y + r \cdot t_3)$

$N_3 \cdot 18 = 24 \cdot (10.8 + 0.9 \cdot 18)$

Сначала вычислим выражение в скобках, которое представляет собой общее количество травы на 1 югере за 18 недель:

$10.8 + 0.9 \cdot 18 = 10.8 + 16.2 = 27$

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

$N_3 \cdot 18 = 24 \cdot 27$

$18 N_3 = 648$

Наконец, находим искомое количество быков $N_3$:

$N_3 = \frac{648}{18} = 36$

Следовательно, для того чтобы съесть всю траву на 24 югерах за 18 недель, потребуется 36 быков.

Ответ: 36 быков.