Номер 1268, страница 304 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1268. Задача И. Ньютона. Двенадцать быков съедают $3\frac{1}{3}$ югера пастбища за 4 недели; 21 бык съедает 10 югеров такого же пастбища за 9 недель. Сколько быков съедят траву на 24 югерах пастбища за 18 недель?

Для решения этой классической задачи необходимо учесть, что трава на пастбище не только имеется в начальный момент, но и постоянно растет с определенной скоростью. Введем переменные для математического описания процесса.

Пусть y – это начальное количество травы на 1 югере пастбища (в условных единицах), r – это скорость роста травы на 1 югере за 1 неделю (в тех же условных единицах), а c – это скорость поедания травы одним быком за одну неделю. Для удобства расчетов примем, что один бык съедает одну условную единицу травы за одну неделю, то есть $c=1$.

Общее количество травы, доступное на пастбище площадью $A$ в течение времени $t$, состоит из начального запаса ($A \cdot y$) и прироста за это время ($A \cdot r \cdot t$). Таким образом, общее количество травы $G$ на пастбище равно $G = A \cdot y + A \cdot r \cdot t$.

С другой стороны, $N$ быков за время $t$ съедают $N \cdot c \cdot t$ травы. Так как мы приняли $c=1$, они съедают $N \cdot t$ условных единиц травы. Поскольку по условию быки съедают всю траву, мы можем приравнять эти два выражения, получив основное уравнение задачи:

$N \cdot t = A \cdot (y + r \cdot t)$

Теперь применим это уравнение к данным в задаче условиям.

Анализ первого условия

Дано: 12 быков ($N_1=12$) съедают траву на пастбище площадью $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ югера ($A_1 = \frac{10}{3}$) за 4 недели ($t_1=4$). Подставим эти значения в наше основное уравнение:

$12 \cdot 4 = \frac{10}{3} \cdot (y + r \cdot 4)$

$48 = \frac{10}{3}y + \frac{40}{3}r$

Чтобы избавиться от дробей в знаменателе, умножим обе части уравнения на 3:

$144 = 10y + 40r$ (Уравнение 1)

Анализ второго условия

Дано: 21 бык ($N_2=21$) съедает траву на пастбище площадью 10 югеров ($A_2=10$) за 9 недель ($t_2=9$). Подставляем эти значения:

$21 \cdot 9 = 10 \cdot (y + r \cdot 9)$

$189 = 10y + 90r$ (Уравнение 2)

Решение системы уравнений

В результате мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $y$ и $r$:

$\begin{cases} 10y + 40r = 144 \\ 10y + 90r = 189 \end{cases}$

Для решения системы вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(10y + 90r) - (10y + 40r) = 189 - 144$

$50r = 45$

Отсюда находим скорость роста травы $r$:

$r = \frac{45}{50} = \frac{9}{10} = 0.9$

Теперь, зная значение $r$, подставим его в уравнение (1), чтобы найти начальное количество травы $y$:

$10y + 40 \cdot (0.9) = 144$

$10y + 36 = 144$

$10y = 144 - 36$

$10y = 108$

$y = \frac{108}{10} = 10.8$

Таким образом, мы определили, что начальный запас травы на одном югере составляет $10.8$ условных единиц, а скорость ее роста – $0.9$ условных единиц в неделю на югер.

Нахождение ответа на вопрос задачи

Теперь мы можем ответить на главный вопрос: сколько быков ($N_3$) съедят траву на 24 югерах ($A_3=24$) за 18 недель ($t_3=18$)?

Снова воспользуемся нашим основным уравнением, подставив в него известные значения $A_3$, $t_3$, а также найденные нами $y$ и $r$:

$N_3 \cdot t_3 = A_3 \cdot (y + r \cdot t_3)$

$N_3 \cdot 18 = 24 \cdot (10.8 + 0.9 \cdot 18)$

Сначала вычислим выражение в скобках, которое представляет собой общее количество травы на 1 югере за 18 недель:

$10.8 + 0.9 \cdot 18 = 10.8 + 16.2 = 27$

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

$N_3 \cdot 18 = 24 \cdot 27$

$18 N_3 = 648$

Наконец, находим искомое количество быков $N_3$:

$N_3 = \frac{648}{18} = 36$

Следовательно, для того чтобы съесть всю траву на 24 югерах за 18 недель, потребуется 36 быков.

Ответ: 36 быков.