Номер 6, страница 306 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

6. 1) Вычислите

$\frac{28,8 : 13\frac{5}{7} + 6,6 \cdot 1\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{80} : 1,35}$

2) Упростите выражение

$3x + \frac{2 - x}{x^2 + 2x + 1} : \frac{1}{1 - x^2}$

3) Решите систему уравнений графическим способом:

$\begin{cases} x - y = 4, \\ 2x + y = 2. \end{cases}$

4) Решите систему уравнений

$\begin{cases} x + y = 4, \\ \frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 1. \end{cases}$

1) Вычислите

Для вычисления значения выражения $\frac{28,8 \cdot 13\frac{5}{7} + 6,6 \cdot 1\frac{1}{2}}{1\frac{1}{80} : 1,35}$ выполним действия по порядку.

Сначала вычислим значение числителя. Для этого преобразуем десятичные дроби и смешанные числа в обыкновенные дроби.

1. $28,8 = \frac{288}{10} = \frac{144}{5}$

2. $13\frac{5}{7} = \frac{13 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{91+5}{7} = \frac{96}{7}$

3. $6,6 = \frac{66}{10} = \frac{33}{5}$

4. $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь выполним умножение в числителе:

5. $28,8 \cdot 13\frac{5}{7} = \frac{144}{5} \cdot \frac{96}{7} = \frac{13824}{35}$

6. $6,6 \cdot 1\frac{1}{2} = \frac{33}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{99}{10}$

Сложим полученные результаты:

7. $\frac{13824}{35} + \frac{99}{10} = \frac{13824 \cdot 2}{70} + \frac{99 \cdot 7}{70} = \frac{27648}{70} + \frac{693}{70} = \frac{28341}{70}$

Теперь вычислим значение знаменателя.

8. $1\frac{1}{80} = \frac{81}{80}$

9. $1,35 = \frac{135}{100} = \frac{27}{20}$

Выполним деление в знаменателе:

10. $1\frac{1}{80} : 1,35 = \frac{81}{80} : \frac{27}{20} = \frac{81}{80} \cdot \frac{20}{27} = \frac{81 \cdot 20}{80 \cdot 27} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{3}{4}$

Наконец, разделим числитель на знаменатель:

11. $\frac{\frac{28341}{70}}{\frac{3}{4}} = \frac{28341}{70} \cdot \frac{4}{3} = \frac{28341 \cdot 4}{70 \cdot 3}$

Сократим 28341 и 3 (сумма цифр $2+8+3+4+1=18$ делится на 3): $28341 : 3 = 9447$.

$\frac{9447 \cdot 4}{70} = \frac{9447 \cdot 2}{35} = \frac{18894}{35}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$18894 : 35 = 539$ (остаток $29$).

Таким образом, результат равен $539\frac{29}{35}$.

Ответ: $539\frac{29}{35}$.

2) Упростите выражение

Дано выражение $3x + \frac{2-x}{x^2+2x+1} : \frac{1}{1-x^2}$.

Сначала выполним деление дробей. Для этого заменим деление на умножение и перевернем вторую дробь.

$\frac{2-x}{x^2+2x+1} : \frac{1}{1-x^2} = \frac{2-x}{x^2+2x+1} \cdot \frac{1-x^2}{1}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ и разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$x^2+2x+1 = (x+1)^2$

$1-x^2 = (1-x)(1+x)$

Подставим разложенные выражения обратно:

$\frac{2-x}{(x+1)^2} \cdot \frac{(1-x)(1+x)}{1}$

Сократим общие множители $(x+1)$:

$\frac{(2-x)(1-x)}{x+1}$

Раскроем скобки в числителе:

$(2-x)(1-x) = 2 - 2x - x + x^2 = x^2 - 3x + 2$

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим упрощенную часть:

$3x + \frac{x^2 - 3x + 2}{x+1}$

Приведем к общему знаменателю $(x+1)$:

$\frac{3x(x+1)}{x+1} + \frac{x^2 - 3x + 2}{x+1} = \frac{3x^2+3x+x^2-3x+2}{x+1}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(3x^2+x^2) + (3x-3x) + 2}{x+1} = \frac{4x^2+2}{x+1}$

Можно вынести общий множитель 2 за скобки в числителе:

$\frac{2(2x^2+1)}{x+1}$

Ответ: $\frac{4x^2+2}{x+1}$.

3) Решите систему уравнений графическим способом

Дана система линейных уравнений:

$\begin{cases} x - y = 4 \\ 2x + y = 2 \end{cases}$

Для решения графическим способом необходимо построить графики обоих уравнений в одной системе координат. Каждое уравнение представляет собой прямую линию. Точка пересечения этих прямых и будет решением системы.

1. Построим график первого уравнения $x - y = 4$. Выразим $y$ через $x$:

$y = x - 4$

Найдем две точки, принадлежащие этой прямой:

• при $x=0$, $y = 0 - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
• при $x=4$, $y = 4 - 4 = 0$. Точка $(4, 0)$.

Проведем прямую через эти две точки.

2. Построим график второго уравнения $2x + y = 2$. Выразим $y$ через $x$:

$y = -2x + 2$

Найдем две точки, принадлежащие этой прямой:

• при $x=0$, $y = -2 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• при $x=1$, $y = -2 \cdot 1 + 2 = 0$. Точка $(1, 0)$.

Проведем прямую через эти две точки.

3. Найдем точку пересечения построенных графиков. Визуально на графике можно определить, что прямые пересекаются в точке с координатами $(2, -2)$.

Для проверки приравняем правые части уравнений, выражающих $y$:

$x - 4 = -2x + 2$

$3x = 6$

$x = 2$

Подставим $x=2$ в любое из уравнений, например, в первое: $y = 2 - 4 = -2$.

Координаты точки пересечения $(2, -2)$.

Ответ: $(2, -2)$.

4) Решите систему уравнений

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 4 \\ \frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 1 \end{cases}$

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 4 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$\frac{3}{x} - \frac{1}{4-x} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(4-x)$:

$\frac{3(4-x) - 1 \cdot x}{x(4-x)} = 1$

$\frac{12 - 3x - x}{4x - x^2} = 1$

$\frac{12 - 4x}{4x - x^2} = 1$

Умножим обе части на знаменатель $4x - x^2$, при условии, что он не равен нулю (что соответствует ОДЗ $x \neq 0$ и $x \neq 4$):

$12 - 4x = 4x - x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 4x - 4x + 12 = 0$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Ищем два числа, произведение которых равно 12, а сумма равна 8. Это числа 2 и 6.

Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня.

1. Если $x_1 = 2$:

$y_1 = 4 - x_1 = 4 - 2 = 2$.

Получили первую пару решений: $(2, 2)$.

2. Если $x_2 = 6$:

$y_2 = 4 - x_2 = 4 - 6 = -2$.

Получили вторую пару решений: $(6, -2)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, 2)$, $(6, -2)$.