Номер 7, страница 306 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

7. 1) Вычислите

$\frac{(0,29 - 1,09) \cdot 1,25}{\left(18,9 - 16\frac{13}{20}\right) \cdot \frac{8}{9}}$

2) Упростите выражение

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$

3) Решите систему уравнений графическим способом:

$\begin{cases} x + 3y = 5, \\ 3x + y = -1. \end{cases}$

4) Фрезеровщик должен изготовить к определённому сроку 80 деталей. Если он будет изготавливать за смену на одну деталь больше, чем предусмотрено планом, то закончит работу на 4 дня раньше срока. За сколько дней планировалось выполнить работу?

1) Вычислите

Для вычисления значения выражения $\frac{(0,29 - 1,09) \cdot 1,25}{(18,9 - 16\frac{13}{20}) \cdot \frac{8}{9}}$ выполним действия по шагам.

1. Вычислим значение числителя.
$0,29 - 1,09 = -0,8$
$-0,8 \cdot 1,25 = -0,8 \cdot \frac{5}{4} = -\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4} = -1$

2. Вычислим значение знаменателя.
Сначала выполним вычитание в скобках. Переведем смешанную дробь в десятичную: $16\frac{13}{20} = 16 + \frac{13 \cdot 5}{20 \cdot 5} = 16 + \frac{65}{100} = 16,65$.
$18,9 - 16,65 = 18,90 - 16,65 = 2,25$
Теперь умножим результат на дробь $\frac{8}{9}$. Переведем $2,25$ в обыкновенную дробь: $2,25 = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.
$\frac{9}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{9 \cdot 8}{4 \cdot 9} = \frac{8}{4} = 2$

3. Разделим числитель на знаменатель.
$\frac{-1}{2} = -0,5$

Ответ: $-0,5$.

2) Упростите выражение

Дано выражение $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$.
1. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$.
Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, получаем:
$(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x - y$.

2. Умножим числитель первой дроби на $(\sqrt{x}+\sqrt{y})$, а числитель второй дроби на $(\sqrt{x}-\sqrt{y})$.
$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{x-y} - \frac{\sqrt{y}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{x-y}$

3. Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем.
$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) - \sqrt{y}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{x-y}$
Раскроем скобки в числителе:
$x + \sqrt{xy} - (\sqrt{xy} - y) = x + \sqrt{xy} - \sqrt{xy} + y = x + y$

4. Запишем итоговое выражение.
$\frac{x+y}{x-y}$

Ответ: $\frac{x+y}{x-y}$.

3) Решите систему уравнений графическим способом

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + 3y = 5 \\ 3x + y = -1 \end{cases}$

Для решения системы графическим способом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точку их пересечения. Каждое уравнение является линейным, поэтому его графиком будет прямая.

1. Построим график первого уравнения $x + 3y = 5$. Выразим $y$ через $x$:
$3y = 5 - x \implies y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$
Найдем две точки, принадлежащие этой прямой:
- если $x = 2$, то $y = -\frac{1}{3}(2) + \frac{5}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Точка А(2, 1).
- если $x = -1$, то $y = -\frac{1}{3}(-1) + \frac{5}{3} = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{6}{3} = 2$. Точка B(-1, 2).

2. Построим график второго уравнения $3x + y = -1$. Выразим $y$ через $x$:
$y = -3x - 1$
Найдем две точки, принадлежащие этой прямой:
- если $x = 0$, то $y = -3(0) - 1 = -1$. Точка C(0, -1).
- если $x = -1$, то $y = -3(-1) - 1 = 3 - 1 = 2$. Точка D(-1, 2).

3. Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что прямые пересекаются в точке $(-1, 2)$. Эта точка является общей для обеих прямых (мы ее получили при поиске точек для каждого графика), следовательно, ее координаты являются решением системы.

Ответ: $x = -1, y = 2$.

4) Фрезеровщик должен изготовить к определённому сроку 80 деталей. Если он будет изготавливать за смену на одну деталь больше, чем предусмотрено планом, то закончит работу на 4 дня раньше срока. За сколько дней планировалось выполнить работу?

Пусть $t$ – количество дней, за которое фрезеровщик планировал выполнить работу, а $v$ – плановая производительность (количество деталей в день).
По условию, всего нужно изготовить 80 деталей. Таким образом, получаем первое уравнение:
$v \cdot t = 80$

По новому плану, фрезеровщик изготавливал на одну деталь в день больше, то есть его новая производительность стала $(v + 1)$ деталей в день. Работу он закончил на 4 дня раньше, то есть за $(t - 4)$ дня. Общее количество деталей осталось тем же. Получаем второе уравнение:
$(v + 1)(t - 4) = 80$

Получили систему из двух уравнений:
$\begin{cases} vt = 80 \\ (v + 1)(t - 4) = 80 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $v$: $v = \frac{80}{t}$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(\frac{80}{t} + 1)(t - 4) = 80$
Раскроем скобки:
$80 - \frac{320}{t} + t - 4 = 80$
$t - \frac{320}{t} - 4 = 0$
Умножим обе части уравнения на $t$ (при условии, что $t \neq 0$):
$t^2 - 4t - 320 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-320) = 16 + 1280 = 1296$
$\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 36}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 36}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Так как количество дней не может быть отрицательным, корень $t_2 = -16$ не подходит по смыслу задачи.
Следовательно, планировалось выполнить работу за 20 дней.

Ответ: 20 дней.