Номер 10, страница 307 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

10. 1) Постройте график функции $y = \frac{3}{x}$.

2) Решите уравнение $\sqrt{x - 3} = 3$.

3) Упростите выражение $\left( \frac{6a + 3}{a^2 - 18a} + \frac{6a - 3}{a^2 + 18a} \right) \cdot \frac{a^2 - 324}{a^2 + 9}$.

4) Решите уравнение $(x^2 + 1)(x - 2) - (x^2 + 3)(x - 1) + 7x - 1 = 0$.

1) Постройте график функции $y = \frac{3}{x}$.

Данная функция является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола, состоящая из двух ветвей.

Основные свойства функции:

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$. Записывается как $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: все действительные числа, кроме $y=0$. Записывается как $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Асимптоты: оси координат. Горизонтальная асимптота — ось $Ox$ ($y=0$), вертикальная асимптота — ось $Oy$ ($x=0$).
• Так как коэффициент $k=3$ положителен ($k>0$), ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:

Для построения графика нужно отметить эти точки на координатной плоскости и соединить их плавными линиями, не пересекающими оси координат.

Ответ: Графиком функции является гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях, проходящая через точки (1; 3), (3; 1), (-1; -3), (-3; -1) и другие, указанные в таблице. Асимптоты графика — оси $Ox$ и $Oy$.

2) Решите уравнение $\sqrt{x - 3} = 3$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$

Теперь решим уравнение. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x - 3})^2 = 3^2$
$x - 3 = 9$
$x = 9 + 3$
$x = 12$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $12 \ge 3$, корень подходит.
Можно также выполнить проверку подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{12 - 3} = \sqrt{9} = 3$
$3 = 3$ (верно).

Ответ: 12

3) Упростите выражение $\left(\frac{6a+3}{a^2-18a} + \frac{6a-3}{a^2+18a}\right) \cdot \frac{a^2-324}{a^2+9}$.

Упростим выражение по действиям. Сначала выполним сложение в скобках.
1. Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители:
$a^2 - 18a = a(a-18)$
$a^2 + 18a = a(a+18)$
Общий знаменатель: $a(a-18)(a+18)$.

$\frac{6a+3}{a(a-18)} + \frac{6a-3}{a(a+18)} = \frac{(6a+3)(a+18) + (6a-3)(a-18)}{a(a-18)(a+18)}$

Раскроем скобки в числителе:
$(6a+3)(a+18) = 6a^2 + 108a + 3a + 54 = 6a^2 + 111a + 54$
$(6a-3)(a-18) = 6a^2 - 108a - 3a + 54 = 6a^2 - 111a + 54$
Сложим полученные выражения:
$(6a^2 + 111a + 54) + (6a^2 - 111a + 54) = 12a^2 + 108 = 12(a^2 + 9)$

Результат первого действия: $\frac{12(a^2+9)}{a(a-18)(a+18)}$.

2. Теперь выполним умножение. Разложим числитель второй дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$a^2 - 324 = a^2 - 18^2 = (a-18)(a+18)$.

$\frac{12(a^2+9)}{a(a-18)(a+18)} \cdot \frac{(a-18)(a+18)}{a^2+9}$

Сократим одинаковые множители в числителях и знаменателях: $(a^2+9)$, $(a-18)$ и $(a+18)$.
$\frac{12(\cancel{a^2+9})}{a(\cancel{a-18})(\cancel{a+18})} \cdot \frac{(\cancel{a-18})(\cancel{a+18})}{\cancel{a^2+9}} = \frac{12}{a}$

Область допустимых значений исходного выражения: $a \ne 0$, $a \ne 18$, $a \ne -18$.

Ответ: $\frac{12}{a}$

4) Решите уравнение $(x^2 + 1)(x - 2) - (x^2 + 3)(x - 1) + 7x - 1 = 0$.

Раскроем скобки в левой части уравнения.
$(x^2 + 1)(x - 2) = x^2 \cdot x - x^2 \cdot 2 + 1 \cdot x - 1 \cdot 2 = x^3 - 2x^2 + x - 2$
$(x^2 + 3)(x - 1) = x^2 \cdot x - x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x - 3 \cdot 1 = x^3 - x^2 + 3x - 3$

Подставим полученные выражения в уравнение:
$(x^3 - 2x^2 + x - 2) - (x^3 - x^2 + 3x - 3) + 7x - 1 = 0$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:
$x^3 - 2x^2 + x - 2 - x^3 + x^2 - 3x + 3 + 7x - 1 = 0$

Приведем подобные слагаемые:
$(x^3 - x^3) + (-2x^2 + x^2) + (x - 3x + 7x) + (-2 + 3 - 1) = 0$
$0 - x^2 + 5x + 0 = 0$
$-x^2 + 5x = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от минуса перед $x^2$:
$x^2 - 5x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 5) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x - 5 = 0$
$x_2 = 5$

Ответ: 0; 5