Номер 9, страница 307 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

9. 1) Решите неравенство $3x^2 \leq 10x - 3.$

2) Упростите выражение $\sqrt[3]{\left(\frac{1}{8}\right)^2}$.

3) Решите уравнение $(x + 2)(x - 1)(x + 1) - (x - 2)(x - 3)(x + 3) + 3x - 49 = 0.$

4) Решите уравнение $\frac{5}{x^2} + \frac{4}{x} - 1 = 0.$

1) Решите неравенство $3x^2 \le 10x - 3$.

Сначала перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:

$3x^2 - 10x + 3 \le 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 10x + 3 = 0$. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Графиком функции $y = 3x^2 - 10x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$). Неравенство $3x^2 - 10x + 3 \le 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси Ox или пересекает ее. Это происходит на отрезке между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это отрезок $[\frac{1}{3}; 3]$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{3}; 3]$.

2) Упростите выражение $\sqrt{\sqrt[3]{(\frac{1}{8})^2}}$.

Выполним преобразования по шагам, начиная с внутреннего выражения:

1. Возведем в квадрат дробь в скобках:

$(\frac{1}{8})^2 = \frac{1^2}{8^2} = \frac{1}{64}$

2. Извлечем кубический корень из полученного результата:

$\sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{4}$, так как $4^3 = 64$.

3. Извлечем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$

Можно также использовать свойства степеней: $\sqrt{\sqrt[3]{a}} = (a^{1/3})^{1/2} = a^{1/6}$.

$\sqrt{\sqrt[3]{(\frac{1}{8})^2}} = \sqrt[6]{(\frac{1}{8})^2} = \sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Решите уравнение $(x + 2)(x - 1)(x + 1) - (x - 2)(x - 3)(x + 3) + 3x - 49 = 0$.

Заметим, что в уравнении есть произведения, которые можно упростить с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$

$(x - 3)(x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$

Подставим эти выражения обратно в уравнение:

$(x + 2)(x^2 - 1) - (x - 2)(x^2 - 9) + 3x - 49 = 0$

Теперь раскроем скобки:

$(x \cdot x^2 - x \cdot 1 + 2 \cdot x^2 - 2 \cdot 1) - (x \cdot x^2 - x \cdot 9 - 2 \cdot x^2 + 2 \cdot 9) + 3x - 49 = 0$

$(x^3 - x + 2x^2 - 2) - (x^3 - 9x - 2x^2 + 18) + 3x - 49 = 0$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$x^3 + 2x^2 - x - 2 - x^3 + 9x + 2x^2 - 18 + 3x - 49 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^3 - x^3) + (2x^2 + 2x^2) + (-x + 9x + 3x) + (-2 - 18 - 49) = 0$

$4x^2 + 11x - 69 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

$D = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-69) = 121 + 16 \cdot 69 = 121 + 1104 = 1225 = 35^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-11 - 35}{2 \cdot 4} = \frac{-46}{8} = -\frac{23}{4} = -5.75$

$x_2 = \frac{-11 + 35}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$

Ответ: $x_1 = -5.75$, $x_2 = 3$.

4) Решите уравнение $\frac{5}{x^2} + \frac{4}{x} - 1 = 0$.

Это дробно-рациональное уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \ne 0$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x^2$, чтобы избавиться от дробей:

$x^2 \cdot (\frac{5}{x^2} + \frac{4}{x} - 1) = x^2 \cdot 0$

$5 + 4x - x^2 = 0$

Умножим на -1 для удобства и запишем в стандартном виде:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 4, произведение равно -5. Легко подобрать корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

Или решим через дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2$

$x_1 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$x_2 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ne 0$).

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = 5$.