Номер 4, страница 305 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

4. 1) Вычислите $(4\frac{2}{3} : 3,5 + 3,5 : 4\frac{2}{3}) \cdot 4,8.$

2) Упростите выражение $\frac{a^2 - a}{9 - a^2} - \frac{a - 1}{a + 3} + \frac{a - 2}{a - 3}. $

3) Постройте график функции $y = -0,5x + 2.$ Определите, при каких значениях $x$ функция принимает положительные значения.

4) Одна сторона прямоугольника на 3 м короче другой. Определите стороны прямоугольника, если его площадь равна $1,75$ м$^2$.

1) Вычислите $\left(4\frac{2}{3}:3,5+3,5:4\frac{2}{3}\right)\cdot 4,8$.
Для решения данного примера преобразуем все числа в обыкновенные или десятичные дроби и выполним действия по порядку. Удобнее будет работать с обыкновенными дробями.
1. Преобразуем смешанные числа и десятичные дроби в неправильные дроби:
$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$
$3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$
$4,8 = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$
2. Выполним действия в скобках. Сначала деление:
$4\frac{2}{3} : 3,5 = \frac{14}{3} : \frac{7}{2} = \frac{14}{3} \cdot \frac{2}{7} = \frac{14 \cdot 2}{3 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 2}{3} = \frac{4}{3}$
$3,5 : 4\frac{2}{3} = \frac{7}{2} : \frac{14}{3} = \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{14} = \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 14} = \frac{3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$
3. Теперь выполним сложение в скобках:
$\frac{4}{3} + \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12} = \frac{16+9}{12} = \frac{25}{12}$
4. Наконец, умножим результат на $4,8$:
$\frac{25}{12} \cdot \frac{24}{5} = \frac{25 \cdot 24}{12 \cdot 5} = \frac{5 \cdot 2}{1} = 10$
Ответ: 10.

2) Упростите выражение $\frac{a^2-a}{9-a^2}-\frac{a-1}{a+3}+\frac{a-2}{a-3}$.
Для упрощения выражения приведем все дроби к общему знаменателю.
1. Разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов: $9 - a^2 = (3-a)(3+a)$. Также вынесем знак минус, чтобы получить $(a-3)$: $-(a-3)(a+3)$.
Выражение примет вид:
$\frac{a(a-1)}{-(a-3)(a+3)} - \frac{a-1}{a+3} + \frac{a-2}{a-3} = -\frac{a(a-1)}{(a-3)(a+3)} - \frac{a-1}{a+3} + \frac{a-2}{a-3}$
2. Общий знаменатель для всех дробей: $(a-3)(a+3)$. Приведем дроби к этому знаменателю:
$-\frac{a(a-1)}{(a-3)(a+3)} - \frac{(a-1)(a-3)}{(a+3)(a-3)} + \frac{(a-2)(a+3)}{(a-3)(a+3)}$
3. Запишем все под одной чертой дроби и раскроем скобки в числителе:
$\frac{-a(a-1) - (a-1)(a-3) + (a-2)(a+3)}{(a-3)(a+3)}$
$= \frac{-(a^2-a) - (a^2-3a-a+3) + (a^2+3a-2a-6)}{(a-3)(a+3)}$
$= \frac{-a^2+a - (a^2-4a+3) + (a^2+a-6)}{(a-3)(a+3)}$
$= \frac{-a^2+a - a^2+4a-3 + a^2+a-6}{(a-3)(a+3)}$
4. Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(-a^2-a^2+a^2) + (a+4a+a) + (-3-6)}{(a-3)(a+3)} = \frac{-a^2+6a-9}{(a-3)(a+3)}$
5. Вынесем минус за скобки в числителе и свернем по формуле квадрата разности:
$\frac{-(a^2-6a+9)}{(a-3)(a+3)} = \frac{-(a-3)^2}{(a-3)(a+3)}$
6. Сократим дробь на $(a-3)$, при условии, что $a \neq 3$:
$\frac{-(a-3)}{a+3} = \frac{3-a}{a+3}$
Ответ: $\frac{3-a}{a+3}$.

3) Постройте график функции $y = -0,5x + 2$. Определите, при каких значениях $x$ функция принимает положительные значения.
1. Функция $y = -0,5x + 2$ является линейной, её график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек.
- Найдем точку пересечения с осью OY. Для этого примем $x=0$:
$y = -0,5 \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0; 2)$.
- Найдем точку пересечения с осью OX. Для этого примем $y=0$:
$0 = -0,5x + 2$
$0,5x = 2$
$x = 4$. Получаем точку $(4; 0)$.
График функции — это прямая, проходящая через точки $(0; 2)$ и $(4; 0)$.
2. Чтобы определить, при каких значениях $x$ функция принимает положительные значения, решим неравенство $y > 0$:
$-0,5x + 2 > 0$
$-0,5x > -2$
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (–0,5), знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{-2}{-0,5}$
$x < 4$
Таким образом, функция принимает положительные значения при $x < 4$. Это также видно из графика: левее точки пересечения с осью OX (то есть при $x < 4$) график расположен выше этой оси.
Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; 4)$.

4) Одна сторона прямоугольника на 3 м короче другой. Определите стороны прямоугольника, если его площадь равна 1,75 м².
1. Пусть одна (большая) сторона прямоугольника равна $x$ м. Тогда другая (меньшая) сторона равна $(x-3)$ м. По условию, $x>3$, так как длина стороны не может быть отрицательной или равной нулю.
2. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — его стороны. По условию, $S = 1,75$ м².
Составим уравнение:
$x(x-3) = 1,75$
3. Решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 3x - 1,75 = 0$
Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все уравнение на 4:
$4x^2 - 12x - 7 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 144 + 112 = 256$
$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 16}{2 \cdot 4} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3,5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 16}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -0,5$
4. Корень $x_2 = -0,5$ не удовлетворяет условию, так как длина стороны не может быть отрицательной. Следовательно, большая сторона прямоугольника равна $x = 3,5$ м.
5. Найдем вторую сторону:
$x - 3 = 3,5 - 3 = 0,5$ м.
Проверка: $3,5 \cdot 0,5 = 1,75$. Верно.
Ответ: стороны прямоугольника равны 3,5 м и 0,5 м.