Номер 1265, страница 304 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1265. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 525 км, выехал мотоциклист. Через некоторое время из пункта В в пункт А выехала машина, которая встретилась с мотоциклистом в тот момент, когда он проехал $\frac{3}{7}$ расстояния от пункта А до пункта В. Мотоциклист и машина продолжали двигаться дальше, и мотоциклист приехал в пункт В через 3 ч после того, как машина прибыла в пункт А. Если бы машина выехала из пункта В на 1,5 ч раньше, чем в действительности, то она встретилась бы с мотоциклистом на расстоянии 180 км от пункта А. Определите скорость мотоциклиста.

Для решения задачи введем следующие переменные:

• $v_м$ — скорость мотоциклиста (в км/ч);
• $v_а$ — скорость машины (в км/ч);
• $S = 525$ км — расстояние между пунктами A и B;
• $t_з$ — время (в часах), на которое машина выехала позже мотоциклиста.

Анализ реальной ситуации, описанной в задаче

Первая встреча транспортных средств произошла в тот момент, когда мотоциклист проехал $\frac{3}{7}$ всего пути. Найдем это расстояние:

$S_1 = \frac{3}{7} \times 525 = 3 \times 75 = 225$ км.

Время, которое мотоциклист был в пути до встречи, составляет $t_1 = \frac{225}{v_м}$.

За это же время машина, выехавшая из пункта B, проехала оставшееся расстояние: $S_2 = 525 - 225 = 300$ км. Поскольку машина выехала на $t_з$ часов позже, ее время в пути до встречи равно $t_1 - t_з$. Таким образом, $\frac{300}{v_а} = \frac{225}{v_м} - t_з$. Из этого соотношения можно выразить время задержки $t_з$:

$t_з = \frac{225}{v_м} - \frac{300}{v_а}$ (1)

Далее, из условия известно, что мотоциклист приехал в B на 3 часа позже, чем машина прибыла в A. Общее время движения мотоциклиста по всему маршруту: $T_м = \frac{525}{v_м}$. Общее время движения машины: $T_а = \frac{525}{v_а}$. Момент прибытия мотоциклиста, отсчитывая от его старта, равен $T_м$. Момент прибытия машины, отсчитывая от старта мотоциклиста, равен $t_з + T_а$. Составим уравнение на основе условия:

$T_м = (t_з + T_а) + 3$

$\frac{525}{v_м} = t_з + \frac{525}{v_а} + 3$

Выразим $t_з$ из этого уравнения:

$t_з = \frac{525}{v_м} - \frac{525}{v_а} - 3$ (2)

Теперь приравняем правые части уравнений (1) и (2) для $t_з$, чтобы получить уравнение, связывающее скорости $v_м$ и $v_а$:

$\frac{225}{v_м} - \frac{300}{v_а} = \frac{525}{v_м} - \frac{525}{v_а} - 3$

$3 = \frac{525}{v_м} - \frac{225}{v_м} - \frac{525}{v_а} + \frac{300}{v_а}$

$3 = \frac{300}{v_м} - \frac{225}{v_а}$ (I)

Анализ гипотетической ситуации

Рассмотрим второе условие: если бы машина выехала на 1,5 ч раньше, то время задержки ее старта составило бы $t_з' = t_з - 1,5$ ч. Встреча бы произошла на расстоянии 180 км от A.Это значит, что мотоциклист проехал бы $S_м' = 180$ км за время $t_м' = \frac{180}{v_м}$.Машина за свое время $t_а'$ проехала бы $S_а' = 525 - 180 = 345$ км. Время движения машины $t_а' = \frac{345}{v_а}$.Связь между временами движения в этом случае: $t_м' = t_а' + t_з'$, или $\frac{180}{v_м} = \frac{345}{v_а} + (t_з - 1,5)$.Выразим отсюда $t_з$:

$t_з = \frac{180}{v_м} - \frac{345}{v_а} + 1,5$ (3)

Приравняем выражения для $t_з$ из уравнений (1) и (3):

$\frac{225}{v_м} - \frac{300}{v_а} = \frac{180}{v_м} - \frac{345}{v_а} + 1,5$

$\frac{225}{v_м} - \frac{180}{v_м} + \frac{345}{v_а} - \frac{300}{v_а} = 1,5$

$\frac{45}{v_м} + \frac{45}{v_а} = 1,5$

Разделив обе части уравнения на 45, получим второе уравнение для скоростей:

$\frac{1}{v_м} + \frac{1}{v_а} = \frac{1,5}{45} = \frac{3/2}{45} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$ (II)

Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений (I) и (II) с двумя неизвестными. Для удобства решения введем замены: $x = \frac{1}{v_м}$ и $y = \frac{1}{v_а}$.

$\begin{cases} 300x - 225y = 3 \\ x + y = \frac{1}{30} \end{cases}$

Из второго уравнения выражаем $y = \frac{1}{30} - x$ и подставляем в первое:

$300x - 225(\frac{1}{30} - x) = 3$

$300x - \frac{225}{30} + 225x = 3$

$525x - 7,5 = 3$

$525x = 10,5$

$x = \frac{10,5}{525} = \frac{21}{1050} = \frac{1}{50}$

Поскольку $x = \frac{1}{v_м}$, находим искомую скорость мотоциклиста:

$v_м = \frac{1}{x} = 50$ км/ч.

Ответ: 50 км/ч.