Номер 1263, страница 303 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1263. Проценты содержания (по массе) красителя в трёх растворах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в отношении $2 : 3 : 4$, то получится раствор, содержащий $32\%$ красителя. Если же смешать их в отношении $3 : 2 : 1$, то получится раствор, содержащий $22\%$ красителя. Сколько процентов красителя содержит первый раствор?

Пусть процентное содержание красителя в первом, втором и третьем растворах равно $c_1$, $c_2$ и $c_3$ соответственно.По условию, эти величины образуют геометрическую прогрессию. Обозначим первый член прогрессии как $b$, а знаменатель как $q$. Тогда:

$c_1 = b$
$c_2 = bq$
$c_3 = bq^2$

Концентрация смеси растворов вычисляется как отношение общей массы красителя к общей массе смеси.

1. Если смешать растворы в отношении 2 : 3 : 4, получится раствор, содержащий 32% красителя.Пусть массы взятых растворов равны $2m$, $3m$ и $4m$.Общая масса смеси: $2m + 3m + 4m = 9m$.Масса красителя в смеси: $c_1\% \cdot 2m + c_2\% \cdot 3m + c_3\% \cdot 4m = \frac{2mc_1 + 3mc_2 + 4mc_3}{100}$.Процентное содержание красителя в смеси: $\frac{\text{масса красителя}}{\text{масса смеси}} \cdot 100\% = \frac{2mc_1 + 3mc_2 + 4mc_3}{9m} \cdot \frac{1}{100} \cdot 100\% = \frac{2c_1 + 3c_2 + 4c_3}{9}$.По условию, это равно 32%.

$\frac{2c_1 + 3c_2 + 4c_3}{9} = 32$

$2c_1 + 3c_2 + 4c_3 = 288$

2. Если смешать растворы в отношении 3 : 2 : 1, получится раствор, содержащий 22% красителя.Пусть массы взятых растворов равны $3k$, $2k$ и $k$.Общая масса смеси: $3k + 2k + k = 6k$.По аналогии с предыдущим пунктом, получаем уравнение:

$\frac{3c_1 + 2c_2 + c_3}{6} = 22$

$3c_1 + 2c_2 + c_3 = 132$

Теперь подставим выражения для $c_1, c_2, c_3$ через $b$ и $q$ в полученные уравнения:

$\begin{cases} 2b + 3(bq) + 4(bq^2) = 288 \\ 3b + 2(bq) + (bq^2) = 132 \end{cases}$

Вынесем $b$ за скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} b(2 + 3q + 4q^2) = 288 \\ b(3 + 2q + q^2) = 132 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе, чтобы исключить $b$:

$\frac{b(4q^2 + 3q + 2)}{b(q^2 + 2q + 3)} = \frac{288}{132}$

Сократим дробь в правой части: $\frac{288}{132} = \frac{144}{66} = \frac{72}{33} = \frac{24}{11}$.

$\frac{4q^2 + 3q + 2}{q^2 + 2q + 3} = \frac{24}{11}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$11(4q^2 + 3q + 2) = 24(q^2 + 2q + 3)$

$44q^2 + 33q + 22 = 24q^2 + 48q + 72$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$(44-24)q^2 + (33-48)q + (22-72) = 0$

$20q^2 - 15q - 50 = 0$

Разделим уравнение на 5 для упрощения:

$4q^2 - 3q - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:$D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-10) = 9 + 160 = 169 = 13^2$

$q = \frac{-(-3) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{3 \pm 13}{8}$

Получаем два возможных значения для $q$:

$q_1 = \frac{3 + 13}{8} = \frac{16}{8} = 2$

$q_2 = \frac{3 - 13}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $q = 2$.Подставим это значение в уравнение $b(3 + 2q + q^2) = 132$:$b(3 + 2(2) + 2^2) = 132$$b(3 + 4 + 4) = 132$$11b = 132$$b = 12$Концентрация первого раствора $c_1 = b = 12\%$.Концентрации растворов: $12\%$, $24\%$, $48\%$. Все значения положительны, что физически возможно.

Случай 2: $q = -5/4$.Подставим это значение в то же уравнение $b(3 + 2q + q^2) = 132$:$b(3 + 2(-\frac{5}{4}) + (-\frac{5}{4})^2) = 132$$b(3 - \frac{10}{4} + \frac{25}{16}) = 132$$b(\frac{48 - 40 + 25}{16}) = 132$$b(\frac{33}{16}) = 132$$b = 132 \cdot \frac{16}{33} = 4 \cdot 16 = 64$Концентрация первого раствора $c_1 = b = 64\%$.Тогда концентрация второго раствора $c_2 = bq = 64 \cdot (-\frac{5}{4}) = -80\%$.Концентрация не может быть отрицательной, поэтому это решение не имеет физического смысла.

Таким образом, единственным верным решением является $b=12$.

Ответ: 12.