Номер 1256, страница 302 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1256. Колонна солдат длиной $l$ движется с постоянной скоростью по шоссе. Курьер из конца колонны отправился в её начало. Достигнув начала колонны, он тут же повернул обратно и пошёл в конец колонны с той же скоростью. За это время колонна прошла расстояние $s$. Определите расстояние, которое прошёл курьер в оба конца, если:

а) $l = 400$ м, $s = 300$ м;

б) $l = 300$ м, $s = 400$ м.

Для решения задачи введем следующие обозначения: $l$ — длина колонны, $s$ — расстояние, которое прошла колонна за все время, $v_c$ — скорость колонны, $v_k$ — скорость курьера (она постоянна по модулю), $t_1$ — время движения курьера от конца колонны к её началу, $t_2$ — время движения курьера от начала колонны к её концу, $S_k$ — общее расстояние, которое прошел курьер.

Рассмотрим движение в системе отсчета, связанной с землей.

1. Когда курьер движется от конца колонны к началу, он догоняет голову колонны. Его скорость относительно головы колонны равна $v_k - v_c$. Расстояние, которое он должен преодолеть относительно колонны, равно её длине $l$. Время движения в этом случае: $t_1 = \frac{l}{v_k - v_c}$. За это время курьер пройдет расстояние $d_1 = v_k t_1 = \frac{l v_k}{v_k - v_c}$.

2. Когда курьер движется от начала колонны к концу, он движется навстречу хвосту колонны. Его скорость сближения с хвостом колонны равна $v_k + v_c$. Расстояние, которое он должен преодолеть, снова равно длине колонны $l$. Время движения в этом случае: $t_2 = \frac{l}{v_k + v_c}$. За это время курьер пройдет расстояние $d_2 = v_k t_2 = \frac{l v_k}{v_k + v_c}$.

Общее время движения курьера $T = t_1 + t_2$. За это время колонна прошла расстояние $s$: $s = v_c T = v_c (t_1 + t_2) = v_c \left(\frac{l}{v_k - v_c} + \frac{l}{v_k + v_c}\right) = v_c \cdot \frac{l(v_k+v_c) + l(v_k-v_c)}{(v_k - v_c)(v_k + v_c)} = \frac{2lv_k v_c}{v_k^2 - v_c^2}$.

Общее расстояние, которое прошел курьер, равно $S_k = d_1 + d_2 = v_k(t_1 + t_2)$. $S_k = v_k \left(\frac{l}{v_k - v_c} + \frac{l}{v_k + v_c}\right) = v_k \cdot \frac{2lv_k}{v_k^2 - v_c^2} = \frac{2lv_k^2}{v_k^2 - v_c^2}$.

Мы получили систему из двух уравнений с неизвестными скоростями $v_k$ и $v_c$. Выразим $S_k$ через $l$ и $s$. Из уравнений для $s$ и $S_k$ можно увидеть, что $\frac{S_k}{s} = \frac{v_k}{v_c}$. Преобразуем уравнение для $S_k$: $S_k(v_k^2 - v_c^2) = 2lv_k^2$. $S_k v_k^2 - S_k v_c^2 = 2lv_k^2$. $v_k^2(S_k - 2l) = S_k v_c^2 \implies \frac{v_k^2}{v_c^2} = \frac{S_k}{S_k - 2l}$.

Так как $\frac{S_k}{s} = \frac{v_k}{v_c}$, то $\left(\frac{S_k}{s}\right)^2 = \frac{v_k^2}{v_c^2}$. Получаем: $\frac{S_k^2}{s^2} = \frac{S_k}{S_k - 2l}$. $S_k(S_k - 2l) = s^2$. $S_k^2 - 2l S_k - s^2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $S_k$, используя формулу для корней: $S_k = \frac{-(-2l) \pm \sqrt{(-2l)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-s^2)}}{2 \cdot 1} = \frac{2l \pm \sqrt{4l^2 + 4s^2}}{2} = l \pm \sqrt{l^2 + s^2}$.

Поскольку расстояние $S_k$ должно быть положительной величиной, а корень $\sqrt{l^2 + s^2}$ всегда больше $l$, то решение $l - \sqrt{l^2 + s^2}$ является отрицательным и не имеет физического смысла. Таким образом, искомое расстояние, пройденное курьером, равно: $S_k = l + \sqrt{l^2 + s^2}$.

а)
Дано: $l = 400$ м, $s = 300$ м.
Подставляем значения в полученную формулу: $S_k = 400 + \sqrt{400^2 + 300^2} = 400 + \sqrt{160000 + 90000} = 400 + \sqrt{250000} = 400 + 500 = 900$ м.
Ответ: 900 м.

б)
Дано: $l = 300$ м, $s = 400$ м.
Подставляем значения в полученную формулу: $S_k = 300 + \sqrt{300^2 + 400^2} = 300 + \sqrt{90000 + 160000} = 300 + \sqrt{250000} = 300 + 500 = 800$ м.
Ответ: 800 м.