Номер 1251, страница 302 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1251. На 720 р. должны были приобрести несколько радиоприёмников, но цена каждого из них снизилась на 24 р., поэтому купили на один радиоприёмник больше, чем планировалось. Сколько купили радиоприёмников, если их цена одинаковая?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество радиоприёмников, которое планировалось купить, а $y$ — их первоначальная цена в рублях.

Согласно условию, на покупку планировалось потратить 720 рублей. Это можно выразить уравнением:

$x \cdot y = 720$

По условию, цена каждого радиоприёмника снизилась на 24 рубля, то есть новая цена составила $y - 24$ рублей. При этом купили на один радиоприёмник больше, чем планировалось, то есть $x + 1$ штук. Общая стоимость покупки осталась прежней — 720 рублей. Составим второе уравнение:

$(x + 1) \cdot (y - 24) = 720$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} x \cdot y = 720 \\ (x+1)(y-24) = 720 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим цену $y$ через количество $x$:

$y = \frac{720}{x}$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$(x + 1) \cdot (\frac{720}{x} - 24) = 720$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x \cdot \frac{720}{x} - x \cdot 24 + 1 \cdot \frac{720}{x} - 1 \cdot 24 = 720$

$720 - 24x + \frac{720}{x} - 24 = 720$

Вычтем 720 из обеих частей уравнения:

$-24x + \frac{720}{x} - 24 = 0$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все члены уравнения на $x$. Так как $x$ — это количество приёмников, оно не может быть равно нулю ($x > 0$).

$-24x^2 + 720 - 24x = 0$

Расположим члены уравнения в стандартном порядке и для удобства разделим все уравнение на -24:

$x^2 + x - 30 = 0$

Мы получили приведённое квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

По теореме Виета, сумма корней равна -1, а их произведение равно -30. Этим условиям удовлетворяют числа -6 и 5.

$x_1 = 5$, $x_2 = -6$.

Так как $x$ обозначает количество радиоприёмников, оно не может быть отрицательным числом. Следовательно, единственное подходящее решение — это $x = 5$.

Таким образом, изначально планировалось купить 5 радиоприёмников.

В вопросе задачи спрашивается, сколько радиоприёмников купили в итоге. По условию, купили на один приёмник больше, чем планировалось:

$x_{куплено} = x + 1 = 5 + 1 = 6$

Проверка:
Планировали купить 5 приёмников, цена была бы $720 / 5 = 144$ руб.
Новая цена: $144 - 24 = 120$ руб.
Купили: $720 / 120 = 6$ приёмников.
Это на $6 - 5 = 1$ приёмник больше. Все условия задачи выполнены.

Ответ: 6.