Номер 1247, страница 301 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1247. Материальная точка движется с поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Сколько времени точка будет находиться в движении и на какую высоту от поверхности земли она поднимется? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Для решения задачи воспользуемся формулами кинематики для равноускоренного движения. Направим ось координат OY вертикально вверх, а начало отсчета поместим на поверхности земли. В этом случае начальная координата равна нулю, проекция начальной скорости на ось OY положительна ($v_{0} = 20 \text{ м/с}$), а проекция ускорения свободного падения отрицательна ($a = -g$). В расчетах будем использовать стандартное значение ускорения свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Сколько времени точка будет находиться в движении

Полное время движения $t_{полн}$ — это время, за которое точка, поднявшись на максимальную высоту, вернется обратно на поверхность земли. В начальный ($t=0$) и конечный ($t=t_{полн}$) моменты времени координата точки равна нулю.

Запишем уравнение зависимости координаты от времени:

$y(t) = v_{0}t + \frac{at^2}{2} = v_{0}t - \frac{gt^2}{2}$

Чтобы найти время движения, приравняем координату к нулю:

$v_{0}t - \frac{gt^2}{2} = 0$

Вынесем $t$ за скобки:

$t(v_{0} - \frac{gt}{2}) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $t_1 = 0$ (момент старта) и $t_2$, который соответствует моменту падения на землю. Найдем второй корень:

$v_{0} - \frac{gt_2}{2} = 0 \implies t_2 = \frac{2v_{0}}{g}$

Это и есть полное время движения. Подставим числовые значения:

$t_{полн} = \frac{2 \cdot 20 \text{ м/с}}{9,8 \text{ м/с}^2} = \frac{40}{9,8} \text{ с} \approx 4,08 \text{ с}$

Стоит отметить, что поскольку сопротивление воздуха не учитывается, движение симметрично: время подъема на максимальную высоту равно времени падения с нее. Время подъема составляет $t_{под} = v_0/g \approx 2,04 \text{ с}$, а полное время движения $t_{полн} = 2 \cdot t_{под} \approx 4,08 \text{ с}$.

Ответ: точка будет находиться в движении примерно 4,08 с.

На какую высоту от поверхности земли она поднимется

Максимальная высота подъема $h_{max}$ достигается в тот момент, когда скорость точки становится равной нулю ($v=0$). Для нахождения этой высоты удобно использовать формулу, связывающую скорость, ускорение и перемещение, без использования времени:

$v^2 = v_{0}^2 + 2a\Delta y$

В нашем случае $v=0$, $a=-g$ и $\Delta y = h_{max}$.

$0^2 = v_{0}^2 + 2(-g)h_{max}$

$0 = v_{0}^2 - 2gh_{max}$

Выразим отсюда максимальную высоту подъема:

$2gh_{max} = v_{0}^2 \implies h_{max} = \frac{v_{0}^2}{2g}$

Подставим числовые значения в формулу:

$h_{max} = \frac{(20 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2} = \frac{400 \text{ м}^2/\text{с}^2}{19,6 \text{ м/с}^2} \approx 20,41 \text{ м}$

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем $h_{max} \approx 20,4 \text{ м}$.

Ответ: точка поднимется на высоту примерно 20,4 м.