Номер 1240, страница 300 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1240. Груз весом 60 кг производит некоторое давление на опору. Если вес груза уменьшить на 10 кг, а площадь опоры — на $5 \text{ дм}^2$, то давление увеличится на $1 \text{ кг/дм}^2$. Определите площадь опоры.

Обозначим исходную площадь опоры как $S$ в дм², а исходное давление как $P$ в кг/дм².

Согласно условию задачи, исходный вес груза (в данном контексте используется как масса) $m_1 = 60$ кг. Давление определяется как отношение веса к площади опоры. Таким образом, исходное давление равно:

$P = \frac{m_1}{S} = \frac{60}{S}$

Далее, вес груза уменьшают на 10 кг, а площадь опоры уменьшают на 5 дм². Новый вес груза $m_2$ и новая площадь опоры $S_2$ будут равны:

$m_2 = 60 - 10 = 50$ кг
$S_2 = S - 5$ дм²

При этом новое давление $P_2$ увеличилось на 1 кг/дм² по сравнению с исходным давлением $P$:

$P_2 = P + 1$

Выразим новое давление через новые вес и площадь:

$P_2 = \frac{m_2}{S_2} = \frac{50}{S - 5}$

Теперь мы можем составить уравнение, подставив выражения для $P$ и $P_2$ в соотношение $P_2 = P + 1$:

$\frac{50}{S - 5} = \frac{60}{S} + 1$

Для решения этого уравнения приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{50}{S - 5} = \frac{60 + S}{S}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), учитывая, что по физическому смыслу задачи площадь $S > 5$, а значит $S \neq 0$ и $S - 5 \neq 0$:

$50 \cdot S = (S - 5) \cdot (60 + S)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$50S = 60S + S^2 - 300 - 5S$

Приведем подобные слагаемые:

$50S = S^2 + 55S - 300$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$S^2 + 55S - 50S - 300 = 0$

$S^2 + 5S - 300 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$

Найдем корни уравнения по формуле $S_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

$S_1 = \frac{-5 + 35}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$S_2 = \frac{-5 - 35}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Поскольку площадь опоры не может быть отрицательной величиной, корень $S_2 = -20$ не является решением задачи. Следовательно, исходная площадь опоры равна 15 дм².

Проверим полученный результат:
Исходное давление: $P = \frac{60}{15} = 4$ кг/дм².
Новая площадь: $S_2 = 15 - 5 = 10$ дм².
Новый вес: $m_2 = 60 - 10 = 50$ кг.
Новое давление: $P_2 = \frac{50}{10} = 5$ кг/дм².
Увеличение давления: $P_2 - P = 5 - 4 = 1$ кг/дм², что соответствует условию задачи.

Ответ: 15 дм².