Номер 1238, страница 300 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1238. Для перевозки 75 т груза выделили несколько грузовиков. Однако 5 грузовиков перевели на другой участок, поэтому в каждый из оставшихся грузовиков пришлось погрузить на 0,5 т груза больше, чем предполагалось. Сколько грузовиков использовалось в перевозке груза?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $n$ — это количество грузовиков, которое было использовано для перевозки груза. Согласно условию, изначально планировалось использовать на 5 грузовиков больше, то есть $n + 5$ грузовиков.

Общий вес груза, который необходимо перевезти, составляет 75 тонн.

Исходя из первоначального плана, на каждый из $n + 5$ грузовиков должны были погрузить $\frac{75}{n+5}$ тонн груза.

После того как 5 грузовиков перевели на другой участок, на каждый из оставшихся $n$ грузовиков пришлось погрузить $\frac{75}{n}$ тонн груза.

По условию, фактическая загрузка каждого грузовика оказалась на 0,5 тонны (или $\frac{1}{2}$ тонны) больше, чем планировалось. На основе этого мы можем составить уравнение:

$\frac{75}{n} - \frac{75}{n+5} = 0.5$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю, которым является $n(n+5)$:

$\frac{75(n+5) - 75n}{n(n+5)} = 0.5$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{75n + 375 - 75n}{n^2 + 5n} = 0.5$

$\frac{375}{n^2 + 5n} = 0.5$

Теперь воспользуемся свойством пропорции. Учитывая, что $n$ — это количество грузовиков, оно не может быть равно 0 или -5.

$375 = 0.5 \cdot (n^2 + 5n)$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$750 = n^2 + 5n$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $an^2+bn+c=0$:

$n^2 + 5n - 750 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты: $a=1$, $b=5$, $c=-750$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-750) = 25 + 3000 = 3025$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{3025} = 55$

Первый корень:

$n_1 = \frac{-5 + 55}{2 \cdot 1} = \frac{50}{2} = 25$

Второй корень:

$n_2 = \frac{-5 - 55}{2 \cdot 1} = \frac{-60}{2} = -30$

Так как $n$ представляет собой количество грузовиков, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $n_2 = -30$ не является решением задачи. Таким образом, для перевозки груза было использовано 25 грузовиков.

Проверим полученный результат:

• Изначально планировалось: $25 + 5 = 30$ грузовиков. Планируемая загрузка на один грузовик: $75 \div 30 = 2.5$ тонны.
• Фактически использовалось: 25 грузовиков. Фактическая загрузка на один грузовик: $75 \div 25 = 3$ тонны.
• Разница в загрузке: $3 - 2.5 = 0.5$ тонны, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 25 грузовиков.