Номер 1231, страница 299 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1231. Несколько одноклассников организовали турнир по шашкам. Каждый участник турнира сыграл с каждым по одной партии, а всего было сыграно 28 партий. Сколько было участников турнира?

Пусть $n$ — это количество участников турнира.

По условию задачи, каждый участник сыграл с каждым по одной партии. Это означает, что общее количество сыгранных партий равно числу всех возможных пар участников. Такое количество пар является числом сочетаний из $n$ элементов по 2 и вычисляется по формуле:

$K = \frac{n(n-1)}{2}$

где $K$ — общее количество партий.

Нам известно, что всего было сыграно 28 партий ($K=28$). Подставим это значение в формулу и получим уравнение:

$\frac{n(n-1)}{2} = 28$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на 2:

$n(n-1) = 56$

Это уравнение можно решить двумя способами.

Первый способ — логический подбор. Нам нужно найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 56. Перебирая пары чисел, легко найти, что $8 \times 7 = 56$. Следовательно, большее из этих чисел, $n$, равно 8.

Второй способ — решение квадратного уравнения. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$n^2 - n = 56$

$n^2 - n - 56 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$

$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$

Теперь найдем корни:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Поскольку количество участников турнира не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -7$ не является решением задачи. Таким образом, в турнире было 8 участников.

Ответ: 8.