Номер 1227, страница 299 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1227. Квадрат меньшего из двух натуральных чисел равен их сумме, а разность этих чисел равна 15. Найдите эти числа.

Пусть меньшее из двух натуральных чисел равно $y$, а большее — $x$. Согласно условию задачи, $x$ и $y$ являются натуральными числами ($x, y \in \mathbb{N}$) и $x > y$.

На основе условий задачи составим систему уравнений:

1. Квадрат меньшего числа равен их сумме: $y^2 = x + y$.
2. Разность этих чисел равна 15: $x - y = 15$.

Таким образом, мы имеем систему:

$$\begin{cases}y^2 = x + y \\x - y = 15\end{cases}$$

Выразим переменную $x$ из второго уравнения:

$x = y + 15$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$y^2 = (y + 15) + y$

Упростим полученное уравнение:

$y^2 = 2y + 15$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ay^2 + by + c = 0$:

$y^2 - 2y - 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение, найдя его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

Поскольку дискриминант положителен ($D > 0$), уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$y_2 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

По условию задачи, числа должны быть натуральными. Корень $y_1 = -3$ не является натуральным числом, поэтому он нам не подходит. Корень $y_2 = 5$ является натуральным числом, следовательно, это и есть меньшее из искомых чисел.

Теперь найдем большее число $x$, подставив значение $y = 5$ в выражение $x = y + 15$:

$x = 5 + 15 = 20$

Итак, мы нашли два числа: 5 и 20.

Проведем проверку:

• Оба числа (5 и 20) являются натуральными.
• Квадрат меньшего числа: $5^2 = 25$. Сумма чисел: $5 + 20 = 25$. Условие $25=25$ выполняется.
• Разность чисел: $20 - 5 = 15$. Условие выполняется.

Все условия задачи соблюдены.

Ответ: 5 и 20.