Номер 1222, страница 298 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1222. Среди абитуриентов, выдержавших приёмные экзамены в вуз, оценку «отлично» получили: по математике — 96 абитуриентов, по физике — 74, по русскому языку — 84, по математике или физике — 150, по математике или русскому языку — 152, по физике или русскому языку — 132, по всем трём предметам — 8. Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятёрку? Сколько среди них получивших одну пятёрку?

Для решения задачи введем обозначения для множеств абитуриентов, получивших оценку «отлично» по каждому предмету:

• $М$ — множество абитуриентов, получивших «отлично» по математике.
• $Ф$ — множество абитуриентов, получивших «отлично» по физике.
• $Р$ — множество абитуриентов, получивших «отлично» по русскому языку.

Исходя из условия, нам известны следующие данные (мощности множеств):

• $|М| = 96$
• $|Ф| = 74$
• $|Р| = 84$
• $|М \cup Ф| = 150$
• $|М \cup Р| = 152$
• $|Ф \cup Р| = 132$
• $|М \cap Ф \cap Р| = 8$

Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятёрку?

Это количество соответствует мощности объединения трёх множеств $|М \cup Ф \cup Р|$. Для его вычисления используется формула включений-исключений:
$|М \cup Ф \cup Р| = |М| + |Ф| + |Р| - (|М \cap Ф| + |М \cap Р| + |Ф \cap Р|) + |М \cap Ф \cap Р|$
Прежде всего, нам нужно найти мощности попарных пересечений множеств. Для этого воспользуемся формулой для объединения двух множеств $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$, из которой можно выразить мощность пересечения: $|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$.
1. Найдём количество абитуриентов, получивших «отлично» одновременно по математике и физике:
$|М \cap Ф| = |М| + |Ф| - |М \cup Ф| = 96 + 74 - 150 = 170 - 150 = 20$.
2. Найдём количество абитуриентов, получивших «отлично» одновременно по математике и русскому языку:
$|М \cap Р| = |М| + |Р| - |М \cup Р| = 96 + 84 - 152 = 180 - 152 = 28$.
3. Найдём количество абитуриентов, получивших «отлично» одновременно по физике и русскому языку:
$|Ф \cap Р| = |Ф| + |Р| - |Ф \cup Р| = 74 + 84 - 132 = 158 - 132 = 26$.
Теперь у нас есть все необходимые данные для основной формулы. Подставим их:
$|М \cup Ф \cup Р| = (96 + 74 + 84) - (20 + 28 + 26) + 8 = 254 - 74 + 8 = 188$.
Ответ: 188.

Сколько среди них получивших одну пятёрку?

Чтобы найти количество абитуриентов, получивших ровно одну пятёрку, нужно из общего числа абитуриентов, получивших хотя бы одну пятёрку (которое мы нашли в предыдущем пункте), вычесть тех, кто получил ровно две и ровно три пятёрки.
Количество абитуриентов, получивших три пятёрки ($N_3$), дано в условии:
$N_3 = |М \cap Ф \cap Р| = 8$.
Теперь найдём количество абитуриентов, получивших ровно две пятёрки ($N_2$). Для этого из каждого попарного пересечения нужно вычесть пересечение всех трёх множеств (то есть тех, кто получил три пятёрки):
- Получивших «отлично» ровно по математике и физике: $|М \cap Ф| - N_3 = 20 - 8 = 12$.
- Получивших «отлично» ровно по математике и русскому языку: $|М \cap Р| - N_3 = 28 - 8 = 20$.
- Получивших «отлично» ровно по физике и русскому языку: $|Ф \cap Р| - N_3 = 26 - 8 = 18$.
Общее количество абитуриентов, получивших ровно две пятёрки, равно сумме этих значений:
$N_2 = 12 + 20 + 18 = 50$.
Теперь можем найти искомое количество абитуриентов, получивших ровно одну пятёрку ($N_1$):
$N_1 = |М \cup Ф \cup Р| - N_2 - N_3 = 188 - 50 - 8 = 130$.
Ответ: 130.