Номер 1215, страница 297 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1215. Сплав золота и серебра весом 13 кг 410 г при погружении в воду стал весить 12 кг 510 г. Определите количество золота и количество серебра в сплаве, если известно, что плотность золота равна $19,3 \text{ г/см}^3$, а серебра равна $10,5 \text{ г/см}^3$.

Для решения этой задачи воспользуемся законом Архимеда, согласно которому потеря веса тела, погруженного в жидкость, равна весу вытесненной жидкости. Эта "потеря веса" соответствует выталкивающей силе.

Сначала переведем массу сплава и его кажущуюся массу в воде в граммы, так как плотности даны в г/см³.

Масса сплава в воздухе: $m_{сплава} = 13 \text{ кг } 410 \text{ г} = 13410 \text{ г}$.

Кажущаяся масса сплава в воде: $m_{каж} = 12 \text{ кг } 510 \text{ г} = 12510 \text{ г}$.

Масса вытесненной воды равна разнице между массой сплава в воздухе и его кажущейся массой в воде:

$m_{воды} = m_{сплава} - m_{каж} = 13410 - 12510 = 900 \text{ г}$.

Объем вытесненной воды равен объему самого сплава. Принимая плотность воды за $\rho_{воды} = 1 \text{ г/см}^3$, находим объем сплава:

$V_{сплава} = \frac{m_{воды}}{\rho_{воды}} = \frac{900 \text{ г}}{1 \text{ г/см}^3} = 900 \text{ см}^3$.

Теперь составим систему уравнений для нахождения масс золота и серебра. Обозначим массу золота как $m_з$, а массу серебра как $m_с$.

Первое уравнение основано на общей массе сплава:

$m_з + m_с = 13410$

Второе уравнение основано на общем объеме сплава, который равен сумме объемов золота и серебра. Объем каждого компонента равен его массе, деленной на плотность ($V = m/\rho$). Плотность золота $\rho_з = 19,3 \text{ г/см}^3$, а плотность серебра $\rho_с = 10,5 \text{ г/см}^3$.

$\frac{m_з}{\rho_з} + \frac{m_с}{\rho_с} = V_{сплава} \Rightarrow \frac{m_з}{19,3} + \frac{m_с}{10,5} = 900$

Теперь решим полученную систему уравнений. Из первого уравнения выразим $m_с = 13410 - m_з$ и подставим во второе:

$\frac{m_з}{19,3} + \frac{13410 - m_з}{10,5} = 900$

Для упрощения умножим всё уравнение на $19,3 \cdot 10,5 = 202,65$:

$10,5 \cdot m_з + 19,3 \cdot (13410 - m_з) = 900 \cdot 202,65$

$10,5 m_з + 258813 - 19,3 m_з = 182385$

Сгруппируем слагаемые:

$258813 - 182385 = 19,3 m_з - 10,5 m_з$

$76428 = 8,8 m_з$

Отсюда находим массу золота:

$m_з = \frac{76428}{8,8} = 8685 \text{ г}$

Далее находим массу серебра:

$m_с = 13410 - m_з = 13410 - 8685 = 4725 \text{ г}$

Переведем найденные массы обратно в килограммы и граммы:

Масса золота: $8685 \text{ г} = 8 \text{ кг } 685 \text{ г}$.

Масса серебра: $4725 \text{ г} = 4 \text{ кг } 725 \text{ г}$.

Ответ: масса золота в сплаве составляет 8 кг 685 г, масса серебра — 4 кг 725 г.