Номер 1212, страница 297 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1212. Грузовая машина выехала из пункта $A$ в пункт $B$. Спустя 2 ч из пункта $B$ в пункт $A$ выехала легковая машина, которая прибыла в пункт $A$ на час позже, чем грузовая машина в пункт $B$. Сколько часов была в пути грузовая машина, если к моменту встречи она проехала $\frac{2}{3}$ всего пути?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние между пунктами А и В.
• $v_г$ – скорость грузовой машины.
• $v_л$ – скорость легковой машины.
• $t_г$ – время, которое грузовая машина была в пути (искомая величина).
• $t_л$ – время, которое легковая машина была в пути.

Из условия задачи известно, что грузовая машина выехала из пункта А в пункт В, а легковая машина выехала из пункта В в пункт А спустя 2 часа после грузовой. Легковая машина прибыла в пункт А на 1 час позже, чем грузовая машина прибыла в пункт В. Это означает, что если бы они выехали одновременно, то легковая машина прибыла бы на 1 час раньше ($2 - 1 = 1$). Следовательно, время в пути легковой машины на 1 час меньше, чем время в пути грузовой.

$t_л = t_г - 1$

Скорости машин можно выразить через расстояние и время:

$v_г = \frac{S}{t_г}$

$v_л = \frac{S}{t_л} = \frac{S}{t_г - 1}$

К моменту встречи грузовая машина проехала $\frac{2}{3}$ всего пути. Следовательно, расстояние, которое она проехала, равно $\frac{2}{3}S$. Время, затраченное на это, обозначим как $t_{встр}$:

$t_{встр} = \frac{\frac{2}{3}S}{v_г} = \frac{\frac{2}{3}S}{\frac{S}{t_г}} = \frac{2}{3}t_г$

К моменту встречи легковая машина проехала оставшуюся часть пути, то есть $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ всего пути. Расстояние, которое она проехала, равно $\frac{1}{3}S$.

Легковая машина выехала на 2 часа позже, поэтому к моменту встречи она находилась в пути $(t_{встр} - 2)$ часа.

Время движения легковой машины до встречи можно выразить как:

$t_{встр} - 2 = \frac{\frac{1}{3}S}{v_л} = \frac{\frac{1}{3}S}{\frac{S}{t_г - 1}} = \frac{1}{3}(t_г - 1)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($t_{встр}$ и $t_г$):

1. $t_{встр} = \frac{2}{3}t_г$

2. $t_{встр} - 2 = \frac{1}{3}(t_г - 1)$

Подставим выражение для $t_{встр}$ из первого уравнения во второе:

$\frac{2}{3}t_г - 2 = \frac{1}{3}(t_г - 1)$

Для удобства решения умножим обе части уравнения на 3:

$3 \cdot (\frac{2}{3}t_г - 2) = 3 \cdot \frac{1}{3}(t_г - 1)$

$2t_г - 6 = t_г - 1$

Перенесем слагаемые с $t_г$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$2t_г - t_г = 6 - 1$

$t_г = 5$

Таким образом, грузовая машина была в пути 5 часов.

Ответ: 5 часов.