Номер 1214, страница 297 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1214. Задача Л.Н. Толстого.

На 100 р. купили 100 скотин — телят по полтине, коров по 3 р., быков по 10 р. Сколько купили телят, коров и быков в отдельности?

Введение переменных и составление уравнений

Для решения задачи обозначим количество купленных животных переменными. Пусть $x$ — это количество телят, $y$ — количество коров, а $z$ — количество быков. Все переменные должны быть целыми и неотрицательными числами.

По условию, всего было куплено 100 голов скота. Это дает нам первое уравнение:

$x + y + z = 100$

Общая сумма покупки составила 100 рублей. Цены на животных были следующими: теленок — полтина (то есть 0,5 рубля), корова — 3 рубля, бык — 10 рублей. Исходя из этого, составим второе уравнение, отражающее общую стоимость:

$0.5x + 3y + 10z = 100$

Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух линейных уравнений с тремя неизвестными:

$\begin{cases} x + y + z = 100 & (1) \\ 0.5x + 3y + 10z = 100 & (2) \end{cases}$

Чтобы упростить систему, умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

$x + 6y + 20z = 200$ (2')

Теперь вычтем уравнение (1) из преобразованного уравнения (2'):

$(x + 6y + 20z) - (x + y + z) = 200 - 100$

После упрощения получаем:

$5y + 19z = 100$

Это диофантово уравнение, которое нужно решить в целых неотрицательных числах. Выразим переменную $y$ через $z$:

$5y = 100 - 19z \implies y = \frac{100 - 19z}{5}$

Анализ полученного уравнения

Поскольку $y$ должно быть неотрицательным числом ($y \ge 0$), то и числитель дроби должен быть неотрицательным: $100 - 19z \ge 0$. Отсюда следует ограничение для $z$:

$19z \le 100 \implies z \le \frac{100}{19} \approx 5.26$

Так как $z$ — это количество быков, оно может принимать только целые значения. Следовательно, возможные значения для $z$: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Кроме того, $y$ должно быть целым числом. Это значит, что числитель $(100 - 19z)$ должен делиться на 5 без остатка. Число 100 делится на 5, поэтому для выполнения этого условия необходимо, чтобы и слагаемое $19z$ делилось на 5. Так как числа 19 и 5 взаимно простые, то на 5 должно делиться само число $z$.

Из всех возможных значений для $z$ (0, 1, 2, 3, 4, 5) только два делятся на 5: это 0 и 5. Рассмотрим оба варианта.

Вариант 1: $z = 5$

Если $z=5$, находим соответствующее значение $y$:

$y = \frac{100 - 19 \cdot 5}{5} = \frac{100 - 95}{5} = \frac{5}{5} = 1$

Теперь, зная $y=1$ и $z=5$, найдем $x$ из первого уравнения системы:

$x + 1 + 5 = 100 \implies x = 100 - 6 = 94$

Таким образом, первое решение: 94 теленка, 1 корова и 5 быков. Все значения положительны.

Вариант 2: $z = 0$

Если $z=0$, находим $y$:

$y = \frac{100 - 19 \cdot 0}{5} = \frac{100}{5} = 20$

Зная $y=20$ и $z=0$, найдем $x$:

$x + 20 + 0 = 100 \implies x = 100 - 20 = 80$

Второе решение: 80 телят, 20 коров и 0 быков. В этом случае быки не покупались.

Выбор ответа и проверка

Формулировка задачи ("купили ... телят ..., коров ..., быков") чаще всего подразумевает, что был куплен хотя бы один представитель каждого вида животных. При таком допущении единственным верным решением является первое. Проверим его.

Количество животных: $94 + 1 + 5 = 100$. Верно.

Стоимость покупки: $94 \times 0.5 + 1 \times 3 + 5 \times 10 = 47 + 3 + 50 = 100$ рублей. Верно.

Оба условия задачи выполнены.

Ответ: Купили 94 теленка, 1 корову и 5 быков.