Номер 1207, страница 296 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1207. а) Если длину прямоугольника уменьшить на 1 м, а его ширину увеличить на 1 м, то площадь прямоугольника увеличится на 5 м². На сколько метров длина прямоугольника больше его ширины?

б) Если бы папа был на 2 года моложе, а мама на 2 года старше, то произведение их возрастов было бы на 6 больше, чем сейчас. На сколько лет папа старше мамы?

а)

Пусть $l$ — первоначальная длина прямоугольника в метрах, а $w$ — первоначальная ширина в метрах. Тогда первоначальная площадь прямоугольника равна $S = l \cdot w$.

После изменений новая длина стала $(l - 1)$ м, а новая ширина — $(w + 1)$ м. Новая площадь равна $S_{новая} = (l - 1)(w + 1)$.

По условию задачи, новая площадь на 5 м² больше первоначальной, то есть $S_{новая} = S + 5$. Составим уравнение: $(l - 1)(w + 1) = l \cdot w + 5$.

Раскроем скобки в левой части уравнения: $l \cdot w + l \cdot 1 - 1 \cdot w - 1 \cdot 1 = lw + l - w - 1$.

Подставим это выражение обратно в уравнение: $lw + l - w - 1 = lw + 5$.

Вычтем из обеих частей уравнения $lw$: $l - w - 1 = 5$.

Чтобы найти разность $l - w$, прибавим 1 к обеим частям уравнения: $l - w = 5 + 1$, $l - w = 6$.

Следовательно, длина прямоугольника больше его ширины на 6 метров.

Ответ: на 6 метров.

б)

Пусть $p$ — возраст папы в годах, а $m$ — возраст мамы в годах. Текущее произведение их возрастов равно $P = p \cdot m$.

Если бы папа был на 2 года моложе, его возраст был бы $(p - 2)$ года. Если бы мама была на 2 года старше, ее возраст был бы $(m + 2)$ года. Новое произведение их возрастов было бы $P_{новое} = (p - 2)(m + 2)$.

По условию задачи, новое произведение было бы на 6 больше, чем сейчас, то есть $P_{новое} = P + 6$. Составим уравнение: $(p - 2)(m + 2) = p \cdot m + 6$.

Раскроем скобки в левой части уравнения: $p \cdot m + p \cdot 2 - 2 \cdot m - 2 \cdot 2 = pm + 2p - 2m - 4$.

Подставим это выражение обратно в уравнение: $pm + 2p - 2m - 4 = pm + 6$.

Вычтем из обеих частей уравнения $pm$: $2p - 2m - 4 = 6$.

Прибавим 4 к обеим частям уравнения: $2p - 2m = 6 + 4$, $2p - 2m = 10$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(p - m) = 10$.

Чтобы найти разность $p - m$, разделим обе части уравнения на 2: $p - m = \frac{10}{2}$, $p - m = 5$.

Следовательно, папа старше мамы на 5 лет.

Ответ: на 5 лет.