Номер 1210, страница 297 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1210. Латунь состоит из меди и цинка. Кусок латуни весом 124 г, погружённый в воду, теряет в весе 15 г, а кусок меди весом 89 г, погружённый в воду, теряет в весе 10 г. Кроме того, известно, что кусок цинка, погружённый в воду, теряет $ \frac{1}{7} $ веса.

Определите, сколько меди и сколько цинка содержится в 124 г латуни.

Для решения задачи введем переменные:
Пусть $m_{cu}$ — масса меди в куске латуни (в граммах).
Пусть $m_{zn}$ — масса цинка в куске латуни (в граммах).

По условию, общий вес куска латуни составляет 124 г. Таким образом, мы можем составить первое уравнение, основанное на сохранении массы:
$m_{cu} + m_{zn} = 124$

Потеря веса тела, погруженного в воду, согласно закону Архимеда, равна весу вытесненной им жидкости. Эта потеря веса пропорциональна объему тела. Общая потеря веса сплава равна сумме потерь веса его компонентов.

Найдем, какую долю своего веса теряет в воде каждый металл:
Для меди: кусок весом 89 г теряет в воде 10 г. Следовательно, доля потери веса для меди составляет $\frac{10}{89}$. Потеря веса для $m_{cu}$ граммов меди составит $m_{cu} \cdot \frac{10}{89}$ г.
Для цинка: по условию, кусок цинка теряет в воде $\frac{1}{7}$ своего веса. Потеря веса для $m_{zn}$ граммов цинка составит $m_{zn} \cdot \frac{1}{7}$ г.

Общая потеря веса куска латуни в воде составляет 15 г. Сложив потери веса меди и цинка, получим второе уравнение:
$\frac{10}{89}m_{cu} + \frac{1}{7}m_{zn} = 15$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} m_{cu} + m_{zn} = 124 \\ \frac{10}{89}m_{cu} + \frac{1}{7}m_{zn} = 15 \end{cases}$

Для решения системы выразим $m_{zn}$ из первого уравнения:
$m_{zn} = 124 - m_{cu}$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{10}{89}m_{cu} + \frac{1}{7}(124 - m_{cu}) = 15$

Теперь решим полученное уравнение относительно $m_{cu}$:
$\frac{10}{89}m_{cu} + \frac{124}{7} - \frac{1}{7}m_{cu} = 15$
Сгруппируем слагаемые с $m_{cu}$ и перенесем свободные члены в правую часть:
$m_{cu} \cdot (\frac{10}{89} - \frac{1}{7}) = 15 - \frac{124}{7}$
Приведем дроби к общим знаменателям:
$m_{cu} \cdot (\frac{10 \cdot 7 - 1 \cdot 89}{89 \cdot 7}) = \frac{15 \cdot 7 - 124}{7}$
$m_{cu} \cdot (\frac{70 - 89}{623}) = \frac{105 - 124}{7}$
$m_{cu} \cdot (\frac{-19}{623}) = \frac{-19}{7}$
Найдем $m_{cu}$:
$m_{cu} = \frac{-19}{7} \div \frac{-19}{623} = \frac{-19}{7} \cdot \frac{623}{-19} = \frac{623}{7}$
$m_{cu} = 89$ г.

Найдем массу цинка $m_{zn}$, подставив найденное значение $m_{cu}$ в первое уравнение:
$m_{zn} = 124 - m_{cu} = 124 - 89 = 35$ г.
Проверим результат, подставив найденные массы во второе уравнение:
$\frac{10}{89} \cdot 89 + \frac{1}{7} \cdot 35 = 10 + 5 = 15$. Равенство верно.

Ответ: в 124 г латуни содержится 89 г меди и 35 г цинка.