Номер 1216, страница 297 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1216. По окружности длиной 100 м движутся две точки. При движении в одном и том же направлении они встречаются каждые 20 с, а при движении в противоположных направлениях они встречаются каждые 4 с. Определите скорость каждой точки.

Пусть $v_1$ и $v_2$ – скорости первой и второй точки соответственно, при этом будем считать, что $v_1 \ge v_2$. Длина окружности $L = 100$ м.

Когда точки движутся в одном и том же направлении, их относительная скорость (скорость, с которой одна точка догоняет другую) равна разности их скоростей: $v_{отн1} = v_1 - v_2$. За время $t_1 = 20$ с более быстрая точка проходит расстояние ровно на один круг больше, чем медленная. На основе этого можно составить уравнение:

$L = (v_1 - v_2) \cdot t_1$

Подставим известные значения:

$100 = (v_1 - v_2) \cdot 20$

Отсюда выразим разность скоростей:

$v_1 - v_2 = \frac{100}{20} = 5$ м/с.

Когда точки движутся в противоположных направлениях, их относительная скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{отн2} = v_1 + v_2$. За время $t_2 = 4$ с они, двигаясь навстречу друг другу, суммарно проходят расстояние, равное длине окружности. Составим второе уравнение:

$L = (v_1 + v_2) \cdot t_2$

Подставим известные значения:

$100 = (v_1 + v_2) \cdot 4$

Отсюда выразим сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = \frac{100}{4} = 25$ м/с.

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$$\begin{cases}v_1 - v_2 = 5 \\v_1 + v_2 = 25\end{cases}$$

Для решения системы сложим первое уравнение со вторым:

$(v_1 - v_2) + (v_1 + v_2) = 5 + 25$

$2v_1 = 30$

$v_1 = \frac{30}{2} = 15$ м/с.

Теперь, зная скорость первой точки, найдем скорость второй, подставив значение $v_1$ во второе уравнение системы:

$15 + v_2 = 25$

$v_2 = 25 - 15 = 10$ м/с.

Ответ: скорость одной точки равна 15 м/с, а скорость другой — 10 м/с.