Номер 1211, страница 297 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1211. Нарисовали ромбы и прямоугольники. Ромбов в 2 раза больше, чем прямоугольников. Число ромбов, не являющихся прямоугольниками, в 3 раза больше числа прямоугольников, не являющихся ромбами.

a) Определите наименьшее возможное число фигур.

б) Во сколько раз квадратов было меньше, чем ромбов?

в) Сколько квадратов нарисовали, если всего нарисовали 20 фигур?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $P$ – общее число прямоугольников.
• $R$ – общее число ромбов.
• $K$ – число квадратов (фигур, являющихся одновременно и прямоугольниками, и ромбами).
• $P_{only}$ – число прямоугольников, не являющихся ромбами.
• $R_{only}$ – число ромбов, не являющихся прямоугольниками.

По определению, общее число прямоугольников и ромбов можно выразить как:

$P = K + P_{only}$

$R = K + R_{only}$

Из условий задачи составим систему уравнений:

1) Ромбов в 2 раза больше, чем прямоугольников: $R = 2P$.

2) Число ромбов, не являющихся прямоугольниками, в 3 раза больше числа прямоугольников, не являющихся ромбами: $R_{only} = 3P_{only}$.

Теперь решим эту систему. Подставим выражения для $R$ и $P$ в первое уравнение:

$K + R_{only} = 2(K + P_{only})$

$K + R_{only} = 2K + 2P_{only}$

В полученное уравнение подставим второе условие ($R_{only} = 3P_{only}$):

$K + 3P_{only} = 2K + 2P_{only}$

Упростим выражение, чтобы найти связь между $K$ и $P_{only}$:

$3P_{only} - 2P_{only} = 2K - K$

$P_{only} = K$

Это ключевое соотношение показывает, что число квадратов равно числу "чистых" прямоугольников (тех, что не являются ромбами). Теперь выразим все величины через число квадратов $K$:

• Число прямоугольников, не являющихся ромбами: $P_{only} = K$.
• Число ромбов, не являющихся прямоугольниками: $R_{only} = 3P_{only} = 3K$.
• Общее число прямоугольников: $P = K + P_{only} = K + K = 2K$.
• Общее число ромбов: $R = K + R_{only} = K + 3K = 4K$.
• Общее число нарисованных фигур (сумма всех уникальных типов фигур) равно: $T = K + P_{only} + R_{only} = K + K + 3K = 5K$.

Теперь мы можем ответить на вопросы задачи.

а)

Общее число фигур $T$ должно быть минимальным и положительным, так как по условию фигуры были нарисованы. Общее число фигур выражается формулой $T = 5K$. Поскольку число квадратов $K$ должно быть целым положительным числом, его наименьшее возможное значение — это $K=1$.
При $K=1$ наименьшее возможное число фигур составит:
$T = 5 \times 1 = 5$.
При этом будет нарисовано: 1 квадрат, 1 прямоугольник (не ромб) и 3 ромба (не прямоугольника).
Ответ: 5.

б)

Чтобы определить, во сколько раз квадратов было меньше, чем ромбов, нужно найти отношение общего числа ромбов к числу квадратов.
Число ромбов: $R = 4K$.
Число квадратов: $K$.
Найдем их отношение:
$\frac{R}{K} = \frac{4K}{K} = 4$.
Это означает, что ромбов в 4 раза больше, чем квадратов, или, что то же самое, квадратов в 4 раза меньше, чем ромбов.
Ответ: в 4 раза.

в)

Общее число нарисованных фигур $T$ связано с числом квадратов $K$ формулой $T = 5K$.
По условию, всего нарисовали 20 фигур, то есть $T = 20$.
Подставим это значение в формулу и найдем $K$:
$5K = 20$
$K = \frac{20}{5} = 4$.
Следовательно, было нарисовано 4 квадрата.
Ответ: 4.