Номер 1213, страница 297 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1213. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, а через $ \frac{1}{4} $ часа вслед за ним выехал автомобиль. В середине пути между пунктами А и В автомобиль догнал велосипедиста. Когда автомобиль прибыл в пункт В, велосипедисту осталось проехать ещё $ \frac{1}{3} $ пути. Какое время затратил на путь от пункта А до пункта В велосипедист и какое — автомобиль, если известно, что скорости велосипедиста и автомобиля постоянны?

Для решения задачи введем следующие обозначения: $S$ – расстояние от пункта A до пункта B; $v_в$ – постоянная скорость велосипедиста; $v_а$ – постоянная скорость автомобиля; $t_в$ – полное время в пути велосипедиста; $t_а$ – полное время в пути автомобиля. Согласно этим обозначениям, $t_в = \frac{S}{v_в}$ и $t_а = \frac{S}{v_а}$.

Рассмотрим первое условие: автомобиль догнал велосипедиста в середине пути. Это произошло на расстоянии $\frac{S}{2}$ от пункта А.
Время, которое велосипедист затратил, чтобы проехать это расстояние, равно $t_{в1} = \frac{S/2}{v_в} = \frac{S}{2v_в}$.
Время, которое автомобиль затратил на тот же путь, равно $t_{а1} = \frac{S/2}{v_а} = \frac{S}{2v_а}$.
Поскольку автомобиль выехал на четверть часа ($\frac{1}{4}$ ч) позже, то к моменту встречи он был в пути на $\frac{1}{4}$ часа меньше, чем велосипедист. Отсюда получаем первое уравнение:
$t_{в1} = t_{а1} + \frac{1}{4}$
Подставив выражения через полное время $t_в$ и $t_а$, получаем:
$\frac{1}{2}t_в = \frac{1}{2}t_а + \frac{1}{4}$

Рассмотрим второе условие: когда автомобиль прибыл в пункт B, велосипедисту осталось проехать еще треть пути.
Автомобиль проехал весь путь $S$ за свое полное время $t_а$.
К этому моменту велосипедист находился в пути на $\frac{1}{4}$ часа дольше, то есть его время движения составило $t_а + \frac{1}{4}$ часа.
Если велосипедисту осталось проехать $\frac{1}{3}$ пути, значит, он проехал $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ всего пути, то есть расстояние $\frac{2}{3}S$.
Время, которое он на это затратил, равно $\frac{2S/3}{v_в} = \frac{2}{3} \cdot \frac{S}{v_в} = \frac{2}{3}t_в$.
Приравнивая время движения велосипедиста, получаем второе уравнение:
$\frac{2}{3}t_в = t_а + \frac{1}{4}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $t_в$ и $t_а$:
1) $\frac{1}{2}t_в = \frac{1}{2}t_а + \frac{1}{4}$
2) $\frac{2}{3}t_в = t_а + \frac{1}{4}$
Из первого уравнения, умножив его на 2, выразим $t_в$ через $t_а$:
$t_в = t_а + \frac{1}{2}$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{2}{3}(t_а + \frac{1}{2}) = t_а + \frac{1}{4}$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $t_а$:
$\frac{2}{3}t_а + \frac{2}{6} = t_а + \frac{1}{4}$
$\frac{2}{3}t_а + \frac{1}{3} = t_а + \frac{1}{4}$
$t_а - \frac{2}{3}t_а = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
$\frac{1}{3}t_а = \frac{4-3}{12}$
$\frac{1}{3}t_а = \frac{1}{12}$
$t_а = \frac{1}{12} \cdot 3 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ часа.
Теперь, зная $t_а$, найдем $t_в$:
$t_в = t_а + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$ часа.

Время, которое затратил на путь от пункта А до пункта В велосипедист
Время велосипедиста $t_в = \frac{3}{4}$ часа. Чтобы перевести в минуты, умножим на 60: $\frac{3}{4} \cdot 60 = 45$ минут.
Ответ: 45 минут.

Время, которое затратил на путь от пункта А до пункта В автомобиль
Время автомобиля $t_а = \frac{1}{4}$ часа. Чтобы перевести в минуты, умножим на 60: $\frac{1}{4} \cdot 60 = 15$ минут.
Ответ: 15 минут.