Номер 1217, страница 297 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1217. Два куска одинаковой ткани стоят вместе 91 р. Когда из первого куска продали столько, сколько было первоначально во втором, а из второго — половину того, что было первоначально в первом, то остаток первого куска оказался на 10 м больше остатка второго куска. Сколько метров ткани было в каждом куске, если 1 м ткани стоит 1,4 р.?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — первоначальная длина первого куска ткани в метрах, а $y$ — первоначальная длина второго куска.

1. Найдем общую длину ткани.

По условию, общая стоимость двух кусков составляет 91 рубль, а цена одного метра ткани — 1,4 рубля. Чтобы найти общую длину ткани в метрах, нужно общую стоимость разделить на цену за метр.

Общая длина = $91 \div 1,4 = 910 \div 14 = 65$ м.

Следовательно, мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 65$

2. Составим второе уравнение из условий продажи ткани.

Из первого куска продали столько, сколько было во втором, то есть $y$ метров. Остаток в первом куске стал равен:

$x - y$

Из второго куска продали половину того, что было в первом, то есть $x/2$ метров. Остаток во втором куске стал равен:

$y - \frac{x}{2}$

Известно, что остаток первого куска на 10 м больше остатка второго. Запишем это в виде уравнения:

$(x - y) - (y - \frac{x}{2}) = 10$

3. Упростим второе уравнение и решим систему.

Раскроем скобки во втором уравнении:

$x - y - y + \frac{x}{2} = 10$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{3x}{2} - 2y = 10$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$3x - 4y = 20$

Теперь у нас есть система двух уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 65 \\ 3x - 4y = 20 \end{cases} $

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 65 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3x - 4(65 - x) = 20$

$3x - 260 + 4x = 20$

$7x = 280$

$x = 280 \div 7 = 40$

Мы нашли, что длина первого куска ткани была 40 метров. Теперь найдем длину второго куска:

$y = 65 - x = 65 - 40 = 25$

Длина второго куска ткани была 25 метров.

4. Проверка решения.

- Общая длина: $40 \text{ м} + 25 \text{ м} = 65 \text{ м}$.
- Общая стоимость: $65 \text{ м} \times 1,4 \text{ р/м} = 91$ р. (Верно)

- Остаток первого куска: $x - y = 40 - 25 = 15$ м.
- Остаток второго куска: $y - x/2 = 25 - 40/2 = 25 - 20 = 5$ м.

- Разница остатков: $15 \text{ м} - 5 \text{ м} = 10$ м. (Верно)

Ответ: первоначально в первом куске было 40 метров ткани, а во втором — 25 метров.