Номер 1219, страница 298 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1219. Найдите такие четыре числа, чтобы суммы, образованные тремя из них, были соответственно равны 20, 22, 24, 27.

Пусть искомые четыре числа — это $a$, $b$, $c$ и $d$.

По условию, суммы, образованные тремя из этих чисел, равны 20, 22, 24 и 27. Обозначим сумму всех четырех чисел как $S$:

$S = a + b + c + d$

Тогда каждую из заданных сумм трех чисел можно выразить через $S$ и одно из искомых чисел. Например, сумма $a + b + c$ равна $S - d$. Таким образом, мы имеем четыре суммы:

$S - a$
$S - b$
$S - c$
$S - d$

В совокупности эти четыре суммы равны набору чисел {20, 22, 24, 27}.

Сложим все эти четыре выражения:

$(S - a) + (S - b) + (S - c) + (S - d) = 4S - (a + b + c + d)$

Так как $S = a + b + c + d$, мы можем упростить выражение:

$4S - S = 3S$

Сумма этих выражений также должна быть равна сумме данных нам чисел:

$20 + 22 + 24 + 27 = 93$

Теперь мы можем приравнять оба результата и найти $S$:

$3S = 93$

$S = \frac{93}{3} = 31$

Итак, сумма всех четырех чисел равна 31.

Теперь, зная общую сумму $S$, мы можем найти каждое из чисел. Каждое число равно общей сумме $S$ минус соответствующая сумма трех остальных чисел. Суммы трех остальных чисел как раз и даны в условии.

Первое число: $31 - 27 = 4$
Второе число: $31 - 24 = 7$
Третье число: $31 - 22 = 9$
Четвертое число: $31 - 20 = 11$

Таким образом, мы получили искомые числа: 4, 7, 9 и 11.

Проведем проверку. Найдем все возможные суммы по три числа из набора {4, 7, 9, 11}:

$4 + 7 + 9 = 20$
$4 + 7 + 11 = 22$
$4 + 9 + 11 = 24$
$7 + 9 + 11 = 27$

Полученные суммы совпадают с суммами, данными в условии задачи.

Ответ: 4, 7, 9, 11.