Номер 1224, страница 298 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1224. Для производства одного электродвигателя типа А используется 2 кг сплава, содержащего 20% свинца и 80% меди. Для производства одного электродвигателя типа В используется 2 кг сплава, содержащего 60% свинца и 40% меди. Прибыль от производства одного электродвигателя типа А или типа В составляет соответственно 8 р. или 12 р. Сколько нужно изготовить электродвигателей каждого типа, чтобы получить 1000 р. прибыли, израсходовав при этом не более 84 кг свинца и не более 111 кг меди?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество изготовленных электродвигателей типа А, а $y$ — количество изготовленных электродвигателей типа B. Поскольку речь идет о количестве изделий, $x$ и $y$ должны быть целыми и неотрицательными числами.

Составление математической модели

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений и неравенств.

1. Условие по прибыли.

Прибыль от производства одного двигателя типа А составляет 8 р., а типа В — 12 р. Общая прибыль должна составить 1000 р. Получаем уравнение:

$8x + 12y = 1000$

Для удобства разделим обе части уравнения на 4:

$2x + 3y = 250$

2. Условие по расходу свинца.

На один двигатель типа А расходуется $2 \cdot 0.20 = 0.4$ кг свинца.

На один двигатель типа В расходуется $2 \cdot 0.60 = 1.2$ кг свинца.

Общий расход свинца не должен превышать 84 кг. Получаем неравенство:

$0.4x + 1.2y \le 84$

Умножим обе части неравенства на 10, чтобы избавиться от дробей, а затем разделим на 4:

$4x + 12y \le 840$

$x + 3y \le 210$

3. Условие по расходу меди.

На один двигатель типа А расходуется $2 \cdot 0.80 = 1.6$ кг меди.

На один двигатель типа В расходуется $2 \cdot 0.40 = 0.8$ кг меди.

Общий расход меди не должен превышать 111 кг. Получаем неравенство:

$1.6x + 0.8y \le 111$

Умножим обе части неравенства на 10, а затем разделим на 2:

$16x + 8y \le 1110$

$8x + 4y \le 555$

Решение системы

Итак, нам нужно найти целые неотрицательные решения системы:

$\begin{cases} 2x + 3y = 250 \\ x + 3y \le 210 \\ 8x + 4y \le 555 \\ x \ge 0, y \ge 0 \\ x, y \in \mathbb{Z} \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения: $2x = 250 - 3y$, следовательно, $x = 125 - 1.5y$.

Поскольку $x$ должно быть целым числом, произведение $1.5y$ должно либо быть целым, либо иметь дробную часть 0.5. Это возможно только если $y$ является четным числом.

Теперь подставим выражение для $x$ в неравенства:

1. Подстановка в $x + 3y \le 210$:

$(125 - 1.5y) + 3y \le 210$

$125 + 1.5y \le 210$

$1.5y \le 210 - 125$

$1.5y \le 85$

$y \le \frac{85}{1.5}$

$y \le 56.66...$

2. Подстановка в $8x + 4y \le 555$:

$8(125 - 1.5y) + 4y \le 555$

$1000 - 12y + 4y \le 555$

$1000 - 8y \le 555$

$1000 - 555 \le 8y$

$445 \le 8y$

$y \ge \frac{445}{8}$

$y \ge 55.625$

Мы получили для $y$ следующие ограничения: $55.625 \le y \le 56.66...$.

Так как $y$ должно быть четным целым числом, единственное значение, удовлетворяющее этому диапазону, — это $y=56$.

Теперь найдем соответствующее значение $x$:

$x = 125 - 1.5 \cdot 56 = 125 - 84 = 41$

Таким образом, возможное решение: 41 электродвигатель типа А и 56 электродвигателей типа B.

Проверка решения

Проверим, удовлетворяет ли найденная пара чисел $(41, 56)$ всем исходным условиям.

• Прибыль: $8 \cdot 41 + 12 \cdot 56 = 328 + 672 = 1000$ р. Условие выполнено.
• Расход свинца: $0.4 \cdot 41 + 1.2 \cdot 56 = 16.4 + 67.2 = 83.6$ кг. Так как $83.6 \le 84$, условие выполнено.
• Расход меди: $1.6 \cdot 41 + 0.8 \cdot 56 = 65.6 + 44.8 = 110.4$ кг. Так как $110.4 \le 111$, условие выполнено.

Все условия задачи соблюдены.

Ответ: нужно изготовить 41 электродвигатель типа А и 56 электродвигателей типа B.