Номер 1218, страница 298 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1218. Старинная задача.

Для молотьбы хлеба были наняты несколько рабочих. Если бы их было тремя меньше, то они проработали бы двумя днями дольше. Если бы наняли четырьмя рабочими больше, то работа была бы окончена двумя днями раньше. Сколько было рабочих и сколько дней они проработали?

Пусть $x$ — первоначальное количество рабочих, а $y$ — количество дней, за которое они должны были выполнить работу. Общий объем работы, который является постоянной величиной, можно выразить как произведение количества рабочих на количество дней: $A = x \cdot y$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: если бы рабочих было на троих меньше ($x - 3$), то они проработали бы на два дня дольше ($y + 2$). Объем работы остался бы тем же:

$(x - 3)(y + 2) = xy$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$xy + 2x - 3y - 6 = xy$

$2x - 3y = 6$

Второе условие: если бы наняли на четырех рабочих больше ($x + 4$), работа была бы окончена на два дня раньше ($y - 2$). Объем работы также не изменился бы:

$(x + 4)(y - 2) = xy$

Раскроем скобки и упростим это уравнение:

$xy - 2x + 4y - 8 = xy$

$-2x + 4y = 8$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ -2x + 4y = 8 \end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы исключить переменную $x$:

$(2x - 3y) + (-2x + 4y) = 6 + 8$

$y = 14$

Мы нашли количество дней. Теперь подставим значение $y = 14$ в первое уравнение системы, чтобы найти количество рабочих $x$:

$2x - 3(14) = 6$

$2x - 42 = 6$

$2x = 48$

$x = 24$

Таким образом, первоначально было 24 рабочих, и они проработали 14 дней.

Проверим решение. Изначальный общий объем работы: $24 \cdot 14 = 336$ человеко-дней.

1. $24 - 3 = 21$ рабочий, $14 + 2 = 16$ дней. Объем работы: $21 \cdot 16 = 336$. Условие выполняется.

2. $24 + 4 = 28$ рабочих, $14 - 2 = 12$ дней. Объем работы: $28 \cdot 12 = 336$. Условие выполняется.

Ответ: было 24 рабочих, и они проработали 14 дней.