Номер 1228, страница 299 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1228. Задача Бега-Эддина (Иран, XVI в.). Заиду обещана награда в виде большей из двух частей, дающих в сумме 20, произведение же этих частей 96. Как велика награда?

Для решения задачи обозначим две искомые части переменными $x$ и $y$. Согласно условию, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Сумма частей равна 20: $x + y = 20$

2. Произведение частей равно 96: $x \cdot y = 96$

Награда обещана в виде большей из этих двух частей, то есть $\max(x, y)$.

Для решения системы уравнений воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 20 - x$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$x(20 - x) = 96$

Раскроем скобки:

$20x - x^2 = 96$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 20x + 96 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 96 = 400 - 384 = 16$

Так как дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-20) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 4}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-(-20) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{20 - 4}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Таким образом, мы нашли две части: это числа 12 и 8.

Проверим, соответствуют ли найденные числа условиям задачи:

Их сумма: $12 + 8 = 20$. Это верно.

Их произведение: $12 \cdot 8 = 96$. Это также верно.

По условию, награда равна большей из двух частей. Сравнивая 12 и 8, мы видим, что большей частью является 12.

Ответ: 12