Страница 297 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1210. Латунь состоит из меди и цинка. Кусок латуни весом 124 г, погружённый в воду, теряет в весе 15 г, а кусок меди весом 89 г, погружённый в воду, теряет в весе 10 г. Кроме того, известно, что кусок цинка, погружённый в воду, теряет $ \frac{1}{7} $ веса.

Определите, сколько меди и сколько цинка содержится в 124 г латуни.

Для решения задачи введем переменные:
Пусть $m_{cu}$ — масса меди в куске латуни (в граммах).
Пусть $m_{zn}$ — масса цинка в куске латуни (в граммах).

По условию, общий вес куска латуни составляет 124 г. Таким образом, мы можем составить первое уравнение, основанное на сохранении массы:
$m_{cu} + m_{zn} = 124$

Потеря веса тела, погруженного в воду, согласно закону Архимеда, равна весу вытесненной им жидкости. Эта потеря веса пропорциональна объему тела. Общая потеря веса сплава равна сумме потерь веса его компонентов.

Найдем, какую долю своего веса теряет в воде каждый металл:
Для меди: кусок весом 89 г теряет в воде 10 г. Следовательно, доля потери веса для меди составляет $\frac{10}{89}$. Потеря веса для $m_{cu}$ граммов меди составит $m_{cu} \cdot \frac{10}{89}$ г.
Для цинка: по условию, кусок цинка теряет в воде $\frac{1}{7}$ своего веса. Потеря веса для $m_{zn}$ граммов цинка составит $m_{zn} \cdot \frac{1}{7}$ г.

Общая потеря веса куска латуни в воде составляет 15 г. Сложив потери веса меди и цинка, получим второе уравнение:
$\frac{10}{89}m_{cu} + \frac{1}{7}m_{zn} = 15$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} m_{cu} + m_{zn} = 124 \\ \frac{10}{89}m_{cu} + \frac{1}{7}m_{zn} = 15 \end{cases}$

Для решения системы выразим $m_{zn}$ из первого уравнения:
$m_{zn} = 124 - m_{cu}$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{10}{89}m_{cu} + \frac{1}{7}(124 - m_{cu}) = 15$

Теперь решим полученное уравнение относительно $m_{cu}$:
$\frac{10}{89}m_{cu} + \frac{124}{7} - \frac{1}{7}m_{cu} = 15$
Сгруппируем слагаемые с $m_{cu}$ и перенесем свободные члены в правую часть:
$m_{cu} \cdot (\frac{10}{89} - \frac{1}{7}) = 15 - \frac{124}{7}$
Приведем дроби к общим знаменателям:
$m_{cu} \cdot (\frac{10 \cdot 7 - 1 \cdot 89}{89 \cdot 7}) = \frac{15 \cdot 7 - 124}{7}$
$m_{cu} \cdot (\frac{70 - 89}{623}) = \frac{105 - 124}{7}$
$m_{cu} \cdot (\frac{-19}{623}) = \frac{-19}{7}$
Найдем $m_{cu}$:
$m_{cu} = \frac{-19}{7} \div \frac{-19}{623} = \frac{-19}{7} \cdot \frac{623}{-19} = \frac{623}{7}$
$m_{cu} = 89$ г.

Найдем массу цинка $m_{zn}$, подставив найденное значение $m_{cu}$ в первое уравнение:
$m_{zn} = 124 - m_{cu} = 124 - 89 = 35$ г.
Проверим результат, подставив найденные массы во второе уравнение:
$\frac{10}{89} \cdot 89 + \frac{1}{7} \cdot 35 = 10 + 5 = 15$. Равенство верно.

Ответ: в 124 г латуни содержится 89 г меди и 35 г цинка.

1211. Нарисовали ромбы и прямоугольники. Ромбов в 2 раза больше, чем прямоугольников. Число ромбов, не являющихся прямоугольниками, в 3 раза больше числа прямоугольников, не являющихся ромбами.

a) Определите наименьшее возможное число фигур.

б) Во сколько раз квадратов было меньше, чем ромбов?

в) Сколько квадратов нарисовали, если всего нарисовали 20 фигур?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $P$ – общее число прямоугольников.
• $R$ – общее число ромбов.
• $K$ – число квадратов (фигур, являющихся одновременно и прямоугольниками, и ромбами).
• $P_{only}$ – число прямоугольников, не являющихся ромбами.
• $R_{only}$ – число ромбов, не являющихся прямоугольниками.

По определению, общее число прямоугольников и ромбов можно выразить как:

$P = K + P_{only}$

$R = K + R_{only}$

Из условий задачи составим систему уравнений:

1) Ромбов в 2 раза больше, чем прямоугольников: $R = 2P$.

2) Число ромбов, не являющихся прямоугольниками, в 3 раза больше числа прямоугольников, не являющихся ромбами: $R_{only} = 3P_{only}$.

Теперь решим эту систему. Подставим выражения для $R$ и $P$ в первое уравнение:

$K + R_{only} = 2(K + P_{only})$

$K + R_{only} = 2K + 2P_{only}$

В полученное уравнение подставим второе условие ($R_{only} = 3P_{only}$):

$K + 3P_{only} = 2K + 2P_{only}$

Упростим выражение, чтобы найти связь между $K$ и $P_{only}$:

$3P_{only} - 2P_{only} = 2K - K$

$P_{only} = K$

Это ключевое соотношение показывает, что число квадратов равно числу "чистых" прямоугольников (тех, что не являются ромбами). Теперь выразим все величины через число квадратов $K$:

• Число прямоугольников, не являющихся ромбами: $P_{only} = K$.
• Число ромбов, не являющихся прямоугольниками: $R_{only} = 3P_{only} = 3K$.
• Общее число прямоугольников: $P = K + P_{only} = K + K = 2K$.
• Общее число ромбов: $R = K + R_{only} = K + 3K = 4K$.
• Общее число нарисованных фигур (сумма всех уникальных типов фигур) равно: $T = K + P_{only} + R_{only} = K + K + 3K = 5K$.

Теперь мы можем ответить на вопросы задачи.

а)

Общее число фигур $T$ должно быть минимальным и положительным, так как по условию фигуры были нарисованы. Общее число фигур выражается формулой $T = 5K$. Поскольку число квадратов $K$ должно быть целым положительным числом, его наименьшее возможное значение — это $K=1$.
При $K=1$ наименьшее возможное число фигур составит:
$T = 5 \times 1 = 5$.
При этом будет нарисовано: 1 квадрат, 1 прямоугольник (не ромб) и 3 ромба (не прямоугольника).
Ответ: 5.

б)

Чтобы определить, во сколько раз квадратов было меньше, чем ромбов, нужно найти отношение общего числа ромбов к числу квадратов.
Число ромбов: $R = 4K$.
Число квадратов: $K$.
Найдем их отношение:
$\frac{R}{K} = \frac{4K}{K} = 4$.
Это означает, что ромбов в 4 раза больше, чем квадратов, или, что то же самое, квадратов в 4 раза меньше, чем ромбов.
Ответ: в 4 раза.

в)

Общее число нарисованных фигур $T$ связано с числом квадратов $K$ формулой $T = 5K$.
По условию, всего нарисовали 20 фигур, то есть $T = 20$.
Подставим это значение в формулу и найдем $K$:
$5K = 20$
$K = \frac{20}{5} = 4$.
Следовательно, было нарисовано 4 квадрата.
Ответ: 4.

1212. Грузовая машина выехала из пункта $A$ в пункт $B$. Спустя 2 ч из пункта $B$ в пункт $A$ выехала легковая машина, которая прибыла в пункт $A$ на час позже, чем грузовая машина в пункт $B$. Сколько часов была в пути грузовая машина, если к моменту встречи она проехала $\frac{2}{3}$ всего пути?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние между пунктами А и В.
• $v_г$ – скорость грузовой машины.
• $v_л$ – скорость легковой машины.
• $t_г$ – время, которое грузовая машина была в пути (искомая величина).
• $t_л$ – время, которое легковая машина была в пути.

Из условия задачи известно, что грузовая машина выехала из пункта А в пункт В, а легковая машина выехала из пункта В в пункт А спустя 2 часа после грузовой. Легковая машина прибыла в пункт А на 1 час позже, чем грузовая машина прибыла в пункт В. Это означает, что если бы они выехали одновременно, то легковая машина прибыла бы на 1 час раньше ($2 - 1 = 1$). Следовательно, время в пути легковой машины на 1 час меньше, чем время в пути грузовой.

$t_л = t_г - 1$

Скорости машин можно выразить через расстояние и время:

$v_г = \frac{S}{t_г}$

$v_л = \frac{S}{t_л} = \frac{S}{t_г - 1}$

К моменту встречи грузовая машина проехала $\frac{2}{3}$ всего пути. Следовательно, расстояние, которое она проехала, равно $\frac{2}{3}S$. Время, затраченное на это, обозначим как $t_{встр}$:

$t_{встр} = \frac{\frac{2}{3}S}{v_г} = \frac{\frac{2}{3}S}{\frac{S}{t_г}} = \frac{2}{3}t_г$

К моменту встречи легковая машина проехала оставшуюся часть пути, то есть $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ всего пути. Расстояние, которое она проехала, равно $\frac{1}{3}S$.

Легковая машина выехала на 2 часа позже, поэтому к моменту встречи она находилась в пути $(t_{встр} - 2)$ часа.

Время движения легковой машины до встречи можно выразить как:

$t_{встр} - 2 = \frac{\frac{1}{3}S}{v_л} = \frac{\frac{1}{3}S}{\frac{S}{t_г - 1}} = \frac{1}{3}(t_г - 1)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($t_{встр}$ и $t_г$):

1. $t_{встр} = \frac{2}{3}t_г$

2. $t_{встр} - 2 = \frac{1}{3}(t_г - 1)$

Подставим выражение для $t_{встр}$ из первого уравнения во второе:

$\frac{2}{3}t_г - 2 = \frac{1}{3}(t_г - 1)$

Для удобства решения умножим обе части уравнения на 3:

$3 \cdot (\frac{2}{3}t_г - 2) = 3 \cdot \frac{1}{3}(t_г - 1)$

$2t_г - 6 = t_г - 1$

Перенесем слагаемые с $t_г$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$2t_г - t_г = 6 - 1$

$t_г = 5$

Таким образом, грузовая машина была в пути 5 часов.

Ответ: 5 часов.

1213. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, а через $ \frac{1}{4} $ часа вслед за ним выехал автомобиль. В середине пути между пунктами А и В автомобиль догнал велосипедиста. Когда автомобиль прибыл в пункт В, велосипедисту осталось проехать ещё $ \frac{1}{3} $ пути. Какое время затратил на путь от пункта А до пункта В велосипедист и какое — автомобиль, если известно, что скорости велосипедиста и автомобиля постоянны?

Для решения задачи введем следующие обозначения: $S$ – расстояние от пункта A до пункта B; $v_в$ – постоянная скорость велосипедиста; $v_а$ – постоянная скорость автомобиля; $t_в$ – полное время в пути велосипедиста; $t_а$ – полное время в пути автомобиля. Согласно этим обозначениям, $t_в = \frac{S}{v_в}$ и $t_а = \frac{S}{v_а}$.

Рассмотрим первое условие: автомобиль догнал велосипедиста в середине пути. Это произошло на расстоянии $\frac{S}{2}$ от пункта А.
Время, которое велосипедист затратил, чтобы проехать это расстояние, равно $t_{в1} = \frac{S/2}{v_в} = \frac{S}{2v_в}$.
Время, которое автомобиль затратил на тот же путь, равно $t_{а1} = \frac{S/2}{v_а} = \frac{S}{2v_а}$.
Поскольку автомобиль выехал на четверть часа ($\frac{1}{4}$ ч) позже, то к моменту встречи он был в пути на $\frac{1}{4}$ часа меньше, чем велосипедист. Отсюда получаем первое уравнение:
$t_{в1} = t_{а1} + \frac{1}{4}$
Подставив выражения через полное время $t_в$ и $t_а$, получаем:
$\frac{1}{2}t_в = \frac{1}{2}t_а + \frac{1}{4}$

Рассмотрим второе условие: когда автомобиль прибыл в пункт B, велосипедисту осталось проехать еще треть пути.
Автомобиль проехал весь путь $S$ за свое полное время $t_а$.
К этому моменту велосипедист находился в пути на $\frac{1}{4}$ часа дольше, то есть его время движения составило $t_а + \frac{1}{4}$ часа.
Если велосипедисту осталось проехать $\frac{1}{3}$ пути, значит, он проехал $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ всего пути, то есть расстояние $\frac{2}{3}S$.
Время, которое он на это затратил, равно $\frac{2S/3}{v_в} = \frac{2}{3} \cdot \frac{S}{v_в} = \frac{2}{3}t_в$.
Приравнивая время движения велосипедиста, получаем второе уравнение:
$\frac{2}{3}t_в = t_а + \frac{1}{4}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $t_в$ и $t_а$:
1) $\frac{1}{2}t_в = \frac{1}{2}t_а + \frac{1}{4}$
2) $\frac{2}{3}t_в = t_а + \frac{1}{4}$
Из первого уравнения, умножив его на 2, выразим $t_в$ через $t_а$:
$t_в = t_а + \frac{1}{2}$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{2}{3}(t_а + \frac{1}{2}) = t_а + \frac{1}{4}$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $t_а$:
$\frac{2}{3}t_а + \frac{2}{6} = t_а + \frac{1}{4}$
$\frac{2}{3}t_а + \frac{1}{3} = t_а + \frac{1}{4}$
$t_а - \frac{2}{3}t_а = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
$\frac{1}{3}t_а = \frac{4-3}{12}$
$\frac{1}{3}t_а = \frac{1}{12}$
$t_а = \frac{1}{12} \cdot 3 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ часа.
Теперь, зная $t_а$, найдем $t_в$:
$t_в = t_а + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$ часа.

Время, которое затратил на путь от пункта А до пункта В велосипедист
Время велосипедиста $t_в = \frac{3}{4}$ часа. Чтобы перевести в минуты, умножим на 60: $\frac{3}{4} \cdot 60 = 45$ минут.
Ответ: 45 минут.

Время, которое затратил на путь от пункта А до пункта В автомобиль
Время автомобиля $t_а = \frac{1}{4}$ часа. Чтобы перевести в минуты, умножим на 60: $\frac{1}{4} \cdot 60 = 15$ минут.
Ответ: 15 минут.

1214. Задача Л.Н. Толстого.

На 100 р. купили 100 скотин — телят по полтине, коров по 3 р., быков по 10 р. Сколько купили телят, коров и быков в отдельности?

Введение переменных и составление уравнений

Для решения задачи обозначим количество купленных животных переменными. Пусть $x$ — это количество телят, $y$ — количество коров, а $z$ — количество быков. Все переменные должны быть целыми и неотрицательными числами.

По условию, всего было куплено 100 голов скота. Это дает нам первое уравнение:

$x + y + z = 100$

Общая сумма покупки составила 100 рублей. Цены на животных были следующими: теленок — полтина (то есть 0,5 рубля), корова — 3 рубля, бык — 10 рублей. Исходя из этого, составим второе уравнение, отражающее общую стоимость:

$0.5x + 3y + 10z = 100$

Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух линейных уравнений с тремя неизвестными:

$\begin{cases} x + y + z = 100 & (1) \\ 0.5x + 3y + 10z = 100 & (2) \end{cases}$

Чтобы упростить систему, умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

$x + 6y + 20z = 200$ (2')

Теперь вычтем уравнение (1) из преобразованного уравнения (2'):

$(x + 6y + 20z) - (x + y + z) = 200 - 100$

После упрощения получаем:

$5y + 19z = 100$

Это диофантово уравнение, которое нужно решить в целых неотрицательных числах. Выразим переменную $y$ через $z$:

$5y = 100 - 19z \implies y = \frac{100 - 19z}{5}$

Анализ полученного уравнения

Поскольку $y$ должно быть неотрицательным числом ($y \ge 0$), то и числитель дроби должен быть неотрицательным: $100 - 19z \ge 0$. Отсюда следует ограничение для $z$:

$19z \le 100 \implies z \le \frac{100}{19} \approx 5.26$

Так как $z$ — это количество быков, оно может принимать только целые значения. Следовательно, возможные значения для $z$: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Кроме того, $y$ должно быть целым числом. Это значит, что числитель $(100 - 19z)$ должен делиться на 5 без остатка. Число 100 делится на 5, поэтому для выполнения этого условия необходимо, чтобы и слагаемое $19z$ делилось на 5. Так как числа 19 и 5 взаимно простые, то на 5 должно делиться само число $z$.

Из всех возможных значений для $z$ (0, 1, 2, 3, 4, 5) только два делятся на 5: это 0 и 5. Рассмотрим оба варианта.

Вариант 1: $z = 5$

Если $z=5$, находим соответствующее значение $y$:

$y = \frac{100 - 19 \cdot 5}{5} = \frac{100 - 95}{5} = \frac{5}{5} = 1$

Теперь, зная $y=1$ и $z=5$, найдем $x$ из первого уравнения системы:

$x + 1 + 5 = 100 \implies x = 100 - 6 = 94$

Таким образом, первое решение: 94 теленка, 1 корова и 5 быков. Все значения положительны.

Вариант 2: $z = 0$

Если $z=0$, находим $y$:

$y = \frac{100 - 19 \cdot 0}{5} = \frac{100}{5} = 20$

Зная $y=20$ и $z=0$, найдем $x$:

$x + 20 + 0 = 100 \implies x = 100 - 20 = 80$

Второе решение: 80 телят, 20 коров и 0 быков. В этом случае быки не покупались.

Выбор ответа и проверка

Формулировка задачи ("купили ... телят ..., коров ..., быков") чаще всего подразумевает, что был куплен хотя бы один представитель каждого вида животных. При таком допущении единственным верным решением является первое. Проверим его.

Количество животных: $94 + 1 + 5 = 100$. Верно.

Стоимость покупки: $94 \times 0.5 + 1 \times 3 + 5 \times 10 = 47 + 3 + 50 = 100$ рублей. Верно.

Оба условия задачи выполнены.

Ответ: Купили 94 теленка, 1 корову и 5 быков.

1215. Сплав золота и серебра весом 13 кг 410 г при погружении в воду стал весить 12 кг 510 г. Определите количество золота и количество серебра в сплаве, если известно, что плотность золота равна $19,3 \text{ г/см}^3$, а серебра равна $10,5 \text{ г/см}^3$.

Для решения этой задачи воспользуемся законом Архимеда, согласно которому потеря веса тела, погруженного в жидкость, равна весу вытесненной жидкости. Эта "потеря веса" соответствует выталкивающей силе.

Сначала переведем массу сплава и его кажущуюся массу в воде в граммы, так как плотности даны в г/см³.

Масса сплава в воздухе: $m_{сплава} = 13 \text{ кг } 410 \text{ г} = 13410 \text{ г}$.

Кажущаяся масса сплава в воде: $m_{каж} = 12 \text{ кг } 510 \text{ г} = 12510 \text{ г}$.

Масса вытесненной воды равна разнице между массой сплава в воздухе и его кажущейся массой в воде:

$m_{воды} = m_{сплава} - m_{каж} = 13410 - 12510 = 900 \text{ г}$.

Объем вытесненной воды равен объему самого сплава. Принимая плотность воды за $\rho_{воды} = 1 \text{ г/см}^3$, находим объем сплава:

$V_{сплава} = \frac{m_{воды}}{\rho_{воды}} = \frac{900 \text{ г}}{1 \text{ г/см}^3} = 900 \text{ см}^3$.

Теперь составим систему уравнений для нахождения масс золота и серебра. Обозначим массу золота как $m_з$, а массу серебра как $m_с$.

Первое уравнение основано на общей массе сплава:

$m_з + m_с = 13410$

Второе уравнение основано на общем объеме сплава, который равен сумме объемов золота и серебра. Объем каждого компонента равен его массе, деленной на плотность ($V = m/\rho$). Плотность золота $\rho_з = 19,3 \text{ г/см}^3$, а плотность серебра $\rho_с = 10,5 \text{ г/см}^3$.

$\frac{m_з}{\rho_з} + \frac{m_с}{\rho_с} = V_{сплава} \Rightarrow \frac{m_з}{19,3} + \frac{m_с}{10,5} = 900$

Теперь решим полученную систему уравнений. Из первого уравнения выразим $m_с = 13410 - m_з$ и подставим во второе:

$\frac{m_з}{19,3} + \frac{13410 - m_з}{10,5} = 900$

Для упрощения умножим всё уравнение на $19,3 \cdot 10,5 = 202,65$:

$10,5 \cdot m_з + 19,3 \cdot (13410 - m_з) = 900 \cdot 202,65$

$10,5 m_з + 258813 - 19,3 m_з = 182385$

Сгруппируем слагаемые:

$258813 - 182385 = 19,3 m_з - 10,5 m_з$

$76428 = 8,8 m_з$

Отсюда находим массу золота:

$m_з = \frac{76428}{8,8} = 8685 \text{ г}$

Далее находим массу серебра:

$m_с = 13410 - m_з = 13410 - 8685 = 4725 \text{ г}$

Переведем найденные массы обратно в килограммы и граммы:

Масса золота: $8685 \text{ г} = 8 \text{ кг } 685 \text{ г}$.

Масса серебра: $4725 \text{ г} = 4 \text{ кг } 725 \text{ г}$.

Ответ: масса золота в сплаве составляет 8 кг 685 г, масса серебра — 4 кг 725 г.

1216. По окружности длиной 100 м движутся две точки. При движении в одном и том же направлении они встречаются каждые 20 с, а при движении в противоположных направлениях они встречаются каждые 4 с. Определите скорость каждой точки.

Пусть $v_1$ и $v_2$ – скорости первой и второй точки соответственно, при этом будем считать, что $v_1 \ge v_2$. Длина окружности $L = 100$ м.

Когда точки движутся в одном и том же направлении, их относительная скорость (скорость, с которой одна точка догоняет другую) равна разности их скоростей: $v_{отн1} = v_1 - v_2$. За время $t_1 = 20$ с более быстрая точка проходит расстояние ровно на один круг больше, чем медленная. На основе этого можно составить уравнение:

$L = (v_1 - v_2) \cdot t_1$

Подставим известные значения:

$100 = (v_1 - v_2) \cdot 20$

Отсюда выразим разность скоростей:

$v_1 - v_2 = \frac{100}{20} = 5$ м/с.

Когда точки движутся в противоположных направлениях, их относительная скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{отн2} = v_1 + v_2$. За время $t_2 = 4$ с они, двигаясь навстречу друг другу, суммарно проходят расстояние, равное длине окружности. Составим второе уравнение:

$L = (v_1 + v_2) \cdot t_2$

Подставим известные значения:

$100 = (v_1 + v_2) \cdot 4$

Отсюда выразим сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = \frac{100}{4} = 25$ м/с.

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$$\begin{cases}v_1 - v_2 = 5 \\v_1 + v_2 = 25\end{cases}$$

Для решения системы сложим первое уравнение со вторым:

$(v_1 - v_2) + (v_1 + v_2) = 5 + 25$

$2v_1 = 30$

$v_1 = \frac{30}{2} = 15$ м/с.

Теперь, зная скорость первой точки, найдем скорость второй, подставив значение $v_1$ во второе уравнение системы:

$15 + v_2 = 25$

$v_2 = 25 - 15 = 10$ м/с.

Ответ: скорость одной точки равна 15 м/с, а скорость другой — 10 м/с.

1217. Два куска одинаковой ткани стоят вместе 91 р. Когда из первого куска продали столько, сколько было первоначально во втором, а из второго — половину того, что было первоначально в первом, то остаток первого куска оказался на 10 м больше остатка второго куска. Сколько метров ткани было в каждом куске, если 1 м ткани стоит 1,4 р.?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — первоначальная длина первого куска ткани в метрах, а $y$ — первоначальная длина второго куска.

1. Найдем общую длину ткани.

По условию, общая стоимость двух кусков составляет 91 рубль, а цена одного метра ткани — 1,4 рубля. Чтобы найти общую длину ткани в метрах, нужно общую стоимость разделить на цену за метр.

Общая длина = $91 \div 1,4 = 910 \div 14 = 65$ м.

Следовательно, мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 65$

2. Составим второе уравнение из условий продажи ткани.

Из первого куска продали столько, сколько было во втором, то есть $y$ метров. Остаток в первом куске стал равен:

$x - y$

Из второго куска продали половину того, что было в первом, то есть $x/2$ метров. Остаток во втором куске стал равен:

$y - \frac{x}{2}$

Известно, что остаток первого куска на 10 м больше остатка второго. Запишем это в виде уравнения:

$(x - y) - (y - \frac{x}{2}) = 10$

3. Упростим второе уравнение и решим систему.

Раскроем скобки во втором уравнении:

$x - y - y + \frac{x}{2} = 10$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{3x}{2} - 2y = 10$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$3x - 4y = 20$

Теперь у нас есть система двух уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 65 \\ 3x - 4y = 20 \end{cases} $

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 65 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3x - 4(65 - x) = 20$

$3x - 260 + 4x = 20$

$7x = 280$

$x = 280 \div 7 = 40$

Мы нашли, что длина первого куска ткани была 40 метров. Теперь найдем длину второго куска:

$y = 65 - x = 65 - 40 = 25$

Длина второго куска ткани была 25 метров.

4. Проверка решения.

- Общая длина: $40 \text{ м} + 25 \text{ м} = 65 \text{ м}$.
- Общая стоимость: $65 \text{ м} \times 1,4 \text{ р/м} = 91$ р. (Верно)

- Остаток первого куска: $x - y = 40 - 25 = 15$ м.
- Остаток второго куска: $y - x/2 = 25 - 40/2 = 25 - 20 = 5$ м.

- Разница остатков: $15 \text{ м} - 5 \text{ м} = 10$ м. (Верно)

Ответ: первоначально в первом куске было 40 метров ткани, а во втором — 25 метров.