Страница 293 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1178. Найдите $tg(\alpha + \beta)$ и $tg(\alpha - \beta)$, если $sin \alpha = 0,6$, $cos \beta = -\frac{12}{13}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$.

Для решения задачи нам необходимо найти значения $tg \alpha$ и $tg \beta$, а затем использовать формулы тангенса суммы и разности углов.

Сначала найдем $tg \alpha$. Дано, что $sin \alpha = 0,6 = \frac{3}{5}$ и угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, что соответствует второй координатной четверти. Во второй четверти косинус отрицателен.

Найдем $cos \alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.

Поскольку $cos \alpha < 0$, получаем $cos \alpha = -\sqrt{0,64} = -0,8 = -\frac{4}{5}$.

Теперь вычислим $tg \alpha$:

$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{0,6}{-0,8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$.

Далее найдем $tg \beta$. Дано, что $cos \beta = -\frac{12}{13}$ и угол $\beta$ находится в интервале $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей координатной четверти. В третьей четверти синус отрицателен, а тангенс положителен.

Найдем $sin \beta$ из основного тригонометрического тождества:

$sin^2\beta = 1 - cos^2\beta = 1 - (-\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$.

Поскольку $sin \beta < 0$, получаем $sin \beta = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.

Теперь вычислим $tg \beta$:

$tg \beta = \frac{sin \beta}{cos \beta} = \frac{-5/13}{-12/13} = \frac{5}{12}$.

Теперь у нас есть все необходимые значения: $tg \alpha = -\frac{3}{4}$ и $tg \beta = \frac{5}{12}$.

tg(α + β)

Воспользуемся формулой тангенса суммы: $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha \cdot tg \beta}$.

Подставляем наши значения:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{-\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - (-\frac{3}{4}) \cdot \frac{5}{12}} = \frac{\frac{-9 + 5}{12}}{1 + \frac{15}{48}} = \frac{-\frac{4}{12}}{1 + \frac{5}{16}} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{16+5}{16}} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{21}{16}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{16}{21} = -\frac{16}{63}$.

Ответ: $tg(\alpha + \beta) = -\frac{16}{63}$.

tg(α - β)

Воспользуемся формулой тангенса разности: $tg(\alpha - \beta) = \frac{tg \alpha - tg \beta}{1 + tg \alpha \cdot tg \beta}$.

Подставляем наши значения:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{-\frac{3}{4} - \frac{5}{12}}{1 + (-\frac{3}{4}) \cdot \frac{5}{12}} = \frac{\frac{-9 - 5}{12}}{1 - \frac{15}{48}} = \frac{-\frac{14}{12}}{1 - \frac{5}{16}} = \frac{-\frac{7}{6}}{\frac{16-5}{16}} = \frac{-\frac{7}{6}}{\frac{11}{16}} = -\frac{7}{6} \cdot \frac{16}{11} = -\frac{7 \cdot 8}{3 \cdot 11} = -\frac{56}{33}$.

Ответ: $tg(\alpha - \beta) = -\frac{56}{33}$.

1179. Найдите $tg(\alpha + \beta)$ и $tg(\alpha - \beta)$, если $tg \alpha = \frac{1}{2}$, $sin \beta = 0,8$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$.

Для решения этой задачи нам нужно найти значение $tg \beta$, а затем использовать формулы тангенса суммы и разности углов.

Дано: $tg \alpha = \frac{1}{2}$, $sin \beta = 0,8$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$.

1. Найдем $tg \beta$.

Сначала представим $sin \beta$ в виде обыкновенной дроби: $sin \beta = 0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 \beta + cos^2 \beta = 1$, чтобы найти $cos \beta$.

$cos^2 \beta = 1 - sin^2 \beta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25-16}{25} = \frac{9}{25}$.

Поскольку по условию $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ (угол $\beta$ находится в I четверти), значение косинуса будет положительным.

$cos \beta = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

Теперь найдем тангенс угла $\beta$ по формуле $tg \beta = \frac{sin \beta}{cos \beta}$.

$tg \beta = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.

2. Найдем $tg(\alpha + \beta)$ и $tg(\alpha - \beta)$.

Теперь, имея значения $tg \alpha = \frac{1}{2}$ и $tg \beta = \frac{4}{3}$, мы можем использовать формулы сложения и вычитания для тангенса.

tg(α + β)

Используем формулу тангенса суммы: $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha \cdot tg \beta}$.

$tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{4}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}} = \frac{\frac{3}{6} + \frac{8}{6}}{1 - \frac{4}{6}} = \frac{\frac{11}{6}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{11}{6}}{\frac{1}{3}} = \frac{11}{6} \cdot 3 = \frac{11}{2} = 5,5$.

Ответ: $5,5$.

tg(α - β)

Используем формулу тангенса разности: $tg(\alpha - \beta) = \frac{tg \alpha - tg \beta}{1 + tg \alpha \cdot tg \beta}$.

$tg(\alpha - \beta) = \frac{\frac{1}{2} - \frac{4}{3}}{1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}} = \frac{\frac{3}{6} - \frac{8}{6}}{1 + \frac{4}{6}} = \frac{-\frac{5}{6}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{-\frac{5}{6}}{\frac{5}{3}} = -\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} = -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

1180. Вычислите:

а) $\cos 37^\circ 30^\prime \cos 7^\circ 30^\prime$;

в) $\cos 15^\circ \cos 75^\circ$;

д) $\sin 15^\circ + \operatorname{tg} 30^\circ \cos 15^\circ$;

ж) $\frac{\operatorname{tg} 13^\circ + \operatorname{tg} 17^\circ}{1 - \operatorname{tg} 13^\circ \operatorname{tg} 17^\circ}$;

и) $\frac{\operatorname{tg} 113^\circ + \operatorname{tg} 7^\circ}{1 - \operatorname{tg} 113^\circ \operatorname{tg} 7^\circ}$;

б) $\sin 75^\circ \sin 15^\circ$;

г) $\sin \frac{5\pi}{24} \sin \frac{\pi}{24}$;

е) $\operatorname{tg} \frac{11\pi}{12} + \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12}$;

з) $\frac{\operatorname{tg} 1^\circ - \operatorname{tg} 46^\circ}{1 + \operatorname{tg} 1^\circ \operatorname{tg} 46^\circ}$;

к) $\frac{\operatorname{tg} 150^\circ - \operatorname{tg} 15^\circ}{1 + \operatorname{tg} 150^\circ \operatorname{tg} 15^\circ}$.

а) Для вычисления выражения $ \cos 37^\circ30' \cos 7^\circ30' $ воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) $.
Пусть $ \alpha = 37^\circ30' $ и $ \beta = 7^\circ30' $. Тогда:
$ \alpha + \beta = 37^\circ30' + 7^\circ30' = 45^\circ $
$ \alpha - \beta = 37^\circ30' - 7^\circ30' = 30^\circ $
Подставим значения в формулу:
$ \cos 37^\circ30' \cos 7^\circ30' = \frac{1}{2}(\cos 45^\circ + \cos 30^\circ) = \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{4} $.

б) Для вычисления выражения $ \sin 75^\circ \sin 15^\circ $ воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.
Пусть $ \alpha = 75^\circ $ и $ \beta = 15^\circ $. Тогда:
$ \alpha - \beta = 75^\circ - 15^\circ = 60^\circ $
$ \alpha + \beta = 75^\circ + 15^\circ = 90^\circ $
Подставим значения в формулу:
$ \sin 75^\circ \sin 15^\circ = \frac{1}{2}(\cos 60^\circ - \cos 90^\circ) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} - 0) = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $.

в) Для вычисления выражения $ \cos 15^\circ \cos 75^\circ $ используем формулу приведения $ \cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha) $ и формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $.
$ \cos 75^\circ = \sin(90^\circ - 75^\circ) = \sin 15^\circ $.
Тогда исходное выражение принимает вид:
$ \cos 15^\circ \cos 75^\circ = \cos 15^\circ \sin 15^\circ = \frac{1}{2}(2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 15^\circ) = \frac{1}{2}\sin 30^\circ $.
$ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $.

г) Для вычисления выражения $ \sin \frac{5\pi}{24} \sin \frac{\pi}{24} $ воспользуемся формулой $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.
Пусть $ \alpha = \frac{5\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{\pi}{24} $. Тогда:
$ \alpha - \beta = \frac{5\pi}{24} - \frac{\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6} $
$ \alpha + \beta = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi}{24} = \frac{6\pi}{24} = \frac{\pi}{4} $
Подставим значения в формулу:
$ \sin \frac{5\pi}{24} \sin \frac{\pi}{24} = \frac{1}{2}(\cos \frac{\pi}{6} - \cos \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{4} $.

д) Для вычисления выражения $ \sin 15^\circ + \tg 30^\circ \cos 15^\circ $ заменим $ \tg 30^\circ $ на $ \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} $.
$ \sin 15^\circ + \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} \cos 15^\circ = \frac{\sin 15^\circ \cos 30^\circ + \cos 15^\circ \sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} $.
В числителе мы видим формулу синуса суммы углов $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $.
$ \frac{\sin(15^\circ + 30^\circ)}{\cos 30^\circ} = \frac{\sin 45^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{3} $.

е) Для вычисления выражения $ \tg \frac{11\pi}{12} + \tg \frac{5\pi}{12} $ воспользуемся формулой $ \tg \alpha + \tg \beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos \alpha \cos \beta} $.
Пусть $ \alpha = \frac{11\pi}{12} $ и $ \beta = \frac{5\pi}{12} $.
$ \alpha + \beta = \frac{11\pi}{12} + \frac{5\pi}{12} = \frac{16\pi}{12} = \frac{4\pi}{3} $.
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Вычислим знаменатель $ \cos \alpha \cos \beta = \cos(\frac{11\pi}{12}) \cos(\frac{5\pi}{12}) $, используя формулу произведения косинусов:
$ \cos(\frac{11\pi}{12}) \cos(\frac{5\pi}{12}) = \frac{1}{2}(\cos(\frac{11\pi}{12}+\frac{5\pi}{12}) + \cos(\frac{11\pi}{12}-\frac{5\pi}{12})) = \frac{1}{2}(\cos(\frac{4\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{2})) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2} + 0) = -\frac{1}{4} $.
Тогда итоговое выражение равно $ \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 2\sqrt{3} $.
Ответ: $ 2\sqrt{3} $.

ж) Выражение $ \frac{\tg 13^\circ + \tg 17^\circ}{1 - \tg 13^\circ \tg 17^\circ} $ соответствует формуле тангенса суммы углов $ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} $.
$ \frac{\tg 13^\circ + \tg 17^\circ}{1 - \tg 13^\circ \tg 17^\circ} = \tg(13^\circ + 17^\circ) = \tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.

з) Выражение $ \frac{\tg 1^\circ - \tg 46^\circ}{1 + \tg 1^\circ \tg 46^\circ} $ соответствует формуле тангенса разности углов $ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta} $.
$ \frac{\tg 1^\circ - \tg 46^\circ}{1 + \tg 1^\circ \tg 46^\circ} = \tg(1^\circ - 46^\circ) = \tg(-45^\circ) = -\tg 45^\circ = -1 $.
Ответ: $ -1 $.

и) Выражение $ \frac{\tg 113^\circ + \tg 7^\circ}{1 - \tg 113^\circ \tg 7^\circ} $ соответствует формуле тангенса суммы углов $ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} $.
$ \frac{\tg 113^\circ + \tg 7^\circ}{1 - \tg 113^\circ \tg 7^\circ} = \tg(113^\circ + 7^\circ) = \tg 120^\circ = \tg(180^\circ - 60^\circ) = -\tg 60^\circ = -\sqrt{3} $.
Ответ: $ -\sqrt{3} $.

к) Выражение $ \frac{\tg 150^\circ - \tg 15^\circ}{1 + \tg 150^\circ \tg 15^\circ} $ соответствует формуле тангенса разности углов $ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta} $.
$ \frac{\tg 150^\circ - \tg 15^\circ}{1 + \tg 150^\circ \tg 15^\circ} = \tg(150^\circ - 15^\circ) = \tg 135^\circ = \tg(180^\circ - 45^\circ) = -\tg 45^\circ = -1 $.
Ответ: $ -1 $.

Доказываем (1181–1183).

1181. Докажите справедливость равенства:

а) $ \sin 10^{\circ} \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} = \frac{1}{8}; $

б) $ \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 80^{\circ} = \frac{1}{8}; $

в) $ \sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4} \operatorname{tg} \frac{\pi}{5}; $

г) $ \sin 18^{\circ} \cos 36^{\circ} = \frac{1}{4}. $

а) Для доказательства равенства $ \sin 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{8} $ преобразуем его левую часть. Умножим и разделим выражение на $ 2\cos 10^\circ $ и последовательно применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

$ \sin 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{2\sin 10^\circ \cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{2\cos 10^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 10^\circ) \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{2\cos 10^\circ} = \frac{\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{2\cos 10^\circ} $
Снова применим ту же идею, умножив числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{2\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{4\cos 10^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 20^\circ) \cos 40^\circ}{4\cos 10^\circ} = \frac{\sin 40^\circ \cos 40^\circ}{4\cos 10^\circ} $
И еще раз:
$ \frac{2\sin 40^\circ \cos 40^\circ}{8\cos 10^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 40^\circ)}{8\cos 10^\circ} = \frac{\sin 80^\circ}{8\cos 10^\circ} $
Используем формулу приведения $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha $. Для $ \alpha = 10^\circ $, получаем $ \sin 80^\circ = \sin(90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ $.
Подставив это значение, получим:
$ \frac{\cos 10^\circ}{8\cos 10^\circ} = \frac{1}{8} $
Таким образом, левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

б) Для доказательства равенства $ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8} $ преобразуем его левую часть. Умножим и разделим выражение на $ 2\sin 20^\circ $ и будем использовать формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

$ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{2\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 20^\circ) \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ} = \frac{\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ} $
Снова умножим числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{2\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{4\sin 20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 40^\circ) \cos 80^\circ}{4\sin 20^\circ} = \frac{\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{4\sin 20^\circ} $
И еще раз:
$ \frac{2\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{8\sin 20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 80^\circ)}{8\sin 20^\circ} = \frac{\sin 160^\circ}{8\sin 20^\circ} $
Используем формулу приведения $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha $. Для $ \alpha = 20^\circ $, получаем $ \sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ $.
Подставив это значение, получим:
$ \frac{\sin 20^\circ}{8\sin 20^\circ} = \frac{1}{8} $
Таким образом, левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

в) Для доказательства равенства $ \sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4} \tg \frac{\pi}{5} $ преобразуем его левую часть.

Умножим и разделим левую часть на $ 4\cos(\frac{\pi}{5}) $.
$ \sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{2\pi}{5} = \frac{4\sin(\frac{\pi}{5})\cos(\frac{\pi}{5})\cos(\frac{2\pi}{5})}{4\cos(\frac{\pi}{5})} $
В числителе применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $ дважды:
$ \frac{2 \cdot (2\sin(\frac{\pi}{5})\cos(\frac{\pi}{5})) \cos(\frac{2\pi}{5})}{4\cos(\frac{\pi}{5})} = \frac{2 \sin(\frac{2\pi}{5}) \cos(\frac{2\pi}{5})}{4\cos(\frac{\pi}{5})} = \frac{\sin(2 \cdot \frac{2\pi}{5})}{4\cos(\frac{\pi}{5})} = \frac{\sin(\frac{4\pi}{5})}{4\cos(\frac{\pi}{5})} $
Используем формулу приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha $:
$ \sin(\frac{4\pi}{5}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{5}) = \sin(\frac{\pi}{5}) $
Подставим это в наше выражение:
$ \frac{\sin(\frac{\pi}{5})}{4\cos(\frac{\pi}{5})} $
Используя определение тангенса $ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, получаем:
$ \frac{1}{4} \tg \frac{\pi}{5} $
Мы показали, что левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

г) Для доказательства равенства $ \sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4} $ преобразуем его левую часть.

Умножим и разделим выражение на $ 2\cos 18^\circ $ и применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.
$ \sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{2\sin 18^\circ \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ}{2\cos 18^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 18^\circ) \cos 36^\circ}{2\cos 18^\circ} = \frac{\sin 36^\circ \cos 36^\circ}{2\cos 18^\circ} $
Снова умножим числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{2\sin 36^\circ \cos 36^\circ}{4\cos 18^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 36^\circ)}{4\cos 18^\circ} = \frac{\sin 72^\circ}{4\cos 18^\circ} $
Используем формулу приведения $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha $.
$ \sin 72^\circ = \sin(90^\circ - 18^\circ) = \cos 18^\circ $
Подставим это в наше выражение:
$ \frac{\cos 18^\circ}{4\cos 18^\circ} = \frac{1}{4} $
Мы показали, что левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

1182. Докажите, что если $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы треугольника, то справедливы равенства и неравенство:

a) $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4\cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \cos\frac{\gamma}{2}$;

б) $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 4\sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \sin\frac{\gamma}{2} + 1$;

в) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma > 2$, где $\alpha < 90^\circ$, $\beta < 90^\circ$, $\gamma < 90^\circ$.

Поскольку $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ являются углами треугольника, их сумма равна $180^\circ$ или $\pi$ радиан:
$\alpha + \beta + \gamma = \pi$.
Из этого следуют полезные соотношения:
$\alpha + \beta = \pi - \gamma$
$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$

а)

Докажем равенство $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}$.

Преобразуем левую часть равенства. Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы синусов:
$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Используя соотношение $\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$, получим:
$2 \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) \cos\frac{\alpha-\beta}{2} = 2 \cos\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Теперь всё выражение для левой части выглядит так:
$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 2 \cos\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \sin \gamma$.

Применим формулу синуса двойного угла для $\sin \gamma$: $\sin \gamma = 2 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\gamma}{2}$.
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 2 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\gamma}{2}$.

Вынесем общий множитель $2 \cos\frac{\gamma}{2}$ за скобки:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \sin\frac{\gamma}{2}\right)$.

Заменим $\sin\frac{\gamma}{2}$ используя $\frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}$:
$\sin\frac{\gamma}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}\right) = \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.

Подставим это в скобки:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$.

К выражению в скобках применим формулу суммы косинусов:
$\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2} = 2 \cos\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}}{2}\right) = 2 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2}$.

Подставив результат в наше выражение, получаем:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left(2 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2}\right) = 4 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \cos\frac{\gamma}{2}$.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Докажем равенство $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 4\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} + 1$.

Преобразуем левую часть. Применим формулу суммы косинусов к первым двум слагаемым:
$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Используя $\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$, получаем:
$2 \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) \cos\frac{\alpha-\beta}{2} = 2 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Выражение для левой части принимает вид:
$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 2 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos \gamma$.

Представим $\cos \gamma$ по формуле двойного угла: $\cos \gamma = 1 - 2\sin^2\frac{\gamma}{2}$.
$2 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 1 - 2\sin^2\frac{\gamma}{2}$.

Сгруппируем слагаемые и вынесем $2 \sin\frac{\gamma}{2}$ за скобки:
$1 + 2 \sin\frac{\gamma}{2} \left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \sin\frac{\gamma}{2}\right)$.

Заменим $\sin\frac{\gamma}{2}$ на $\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:
$1 + 2 \sin\frac{\gamma}{2} \left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$.

К выражению в скобках применим формулу разности косинусов:
$\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2} = -2 \sin\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right) \sin\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right) = -2 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\left(-\frac{\beta}{2}\right) = 2 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2}$.

Подставив результат в наше выражение, получаем:
$1 + 2 \sin\frac{\gamma}{2} \left(2 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2}\right) = 1 + 4 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \sin\frac{\gamma}{2}$.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

в)

Докажем неравенство $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma > 2$, где $\alpha < 90^\circ$, $\beta < 90^\circ$, $\gamma < 90^\circ$.

Условие означает, что треугольник остроугольный. Сначала докажем тождество: $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 2 + 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$.

Преобразуем левую часть. Воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$:
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} + \frac{1 - \cos(2\beta)}{2} + 1 - \cos^2\gamma$
$= \frac{3}{2} - \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \cos(2\beta)) - \cos^2\gamma$.

Применим формулу суммы косинусов: $\cos(2\alpha) + \cos(2\beta) = 2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$.
Подставим это в выражение: $\frac{3}{2} - \cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) - \cos^2\gamma$.

Так как $\alpha + \beta = \pi - \gamma$, то $\cos(\alpha+\beta) = \cos(\pi-\gamma) = -\cos\gamma$.
Выражение примет вид: $\frac{3}{2} - (-\cos\gamma)\cos(\alpha-\beta) - \cos^2\gamma = \frac{3}{2} + \cos\gamma\cos(\alpha-\beta) - \cos^2\gamma$.

Это не тот путь. Вернемся к более простому варианту.

$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 2 + \cos\gamma(\cos(\alpha-\beta) - \cos\gamma)$.
Заменим $\cos\gamma$ на $-\cos(\alpha+\beta)$:
$2 + \cos\gamma(\cos(\alpha-\beta) - (-\cos(\alpha+\beta))) = 2 + \cos\gamma(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta))$.

Выражение в скобках по формуле суммы косинусов равно $2\cos\alpha\cos\beta$.
Таким образом, мы доказали тождество:
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 2 + 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$.

Теперь докажем неравенство $2 + 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma > 2$.
Это неравенство эквивалентно $2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma > 0$, или $\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma > 0$.

По условию, все углы треугольника острые: $0 < \alpha < 90^\circ$, $0 < \beta < 90^\circ$, $0 < \gamma < 90^\circ$.
Для любого угла $x$ в интервале $(0, 90^\circ)$ его косинус положителен: $\cos x > 0$.
Следовательно, $\cos\alpha > 0$, $\cos\beta > 0$ и $\cos\gamma > 0$.

Произведение трех положительных чисел также положительно: $\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma > 0$.
Значит, $2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma > 0$, и, следовательно, $2 + 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma > 2$.
Таким образом, мы доказали, что $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma > 2$.

Ответ: Неравенство доказано.

1183. Докажите справедливость равенства:

а) $ \cos 2\alpha (\sin \alpha + \sin 3\alpha) = \sin 2\alpha (\cos \alpha + \cos 3\alpha) $;

б) $ (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)^2 + (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)^2 = 1 $.

а) Докажем тождество $ \cos 2\alpha(\sin\alpha + \sin 3\alpha) = \sin 2\alpha(\cos\alpha + \cos 3\alpha) $.

Для доказательства преобразуем левую и правую части равенства по отдельности, используя формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

• $ \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $
• $ \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $

1. Преобразуем левую часть равенства (ЛЧ):

$ ЛЧ = \cos 2\alpha(\sin\alpha + \sin 3\alpha) $

Применим формулу суммы синусов к выражению в скобках:

$ \sin\alpha + \sin 3\alpha = 2 \sin \frac{\alpha+3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-3\alpha}{2} = 2 \sin \frac{4\alpha}{2} \cos \frac{-2\alpha}{2} = 2 \sin 2\alpha \cos(-\alpha) $

Так как $ \cos(-\alpha) = \cos\alpha $, получаем:

$ \sin\alpha + \sin 3\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos\alpha $

Подставим это обратно в левую часть:

$ ЛЧ = \cos 2\alpha \cdot (2 \sin 2\alpha \cos\alpha) = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \cos\alpha $

2. Преобразуем правую часть равенства (ПЧ):

$ ПЧ = \sin 2\alpha(\cos\alpha + \cos 3\alpha) $

Применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках:

$ \cos\alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos \frac{\alpha+3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-3\alpha}{2} = 2 \cos \frac{4\alpha}{2} \cos \frac{-2\alpha}{2} = 2 \cos 2\alpha \cos(-\alpha) $

Так как $ \cos(-\alpha) = \cos\alpha $, получаем:

$ \cos\alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos 2\alpha \cos\alpha $

Подставим это обратно в правую часть:

$ ПЧ = \sin 2\alpha \cdot (2 \cos 2\alpha \cos\alpha) = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \cos\alpha $

3. Сравним полученные выражения:

$ ЛЧ = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \cos\alpha $

$ ПЧ = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \cos\alpha $

Левая и правая части равны. Следовательно, равенство справедливо.

Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем тождество $ (\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta)^2 + (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta)^2 = 1 $.

Для доказательства воспользуемся формулами сложения углов:

• $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $
• $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $

1. Заметим, что выражение в первой скобке является формулой синуса суммы углов $ \alpha $ и $ \beta $.

$ \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta = \sin(\alpha + \beta) $

2. Выражение во второй скобке является формулой косинуса суммы углов $ \alpha $ и $ \beta $.

$ \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta = \cos(\alpha + \beta) $

3. Подставим эти выражения в исходное равенство:

$ (\sin(\alpha + \beta))^2 + (\cos(\alpha + \beta))^2 = 1 $

4. Полученное выражение представляет собой основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, где $ x = \alpha + \beta $.

$ \sin^2(\alpha + \beta) + \cos^2(\alpha + \beta) = 1 $

$ 1 = 1 $

Равенство справедливо.

Ответ: Равенство доказано.

1184. Найдите все углы $\alpha$, для каждого из которых одновременно

имеют смысл обе части равенства:

a) $ctg^2 \alpha - \cos^2 \alpha = ctg^2 \alpha \cos^2 \alpha$;

б) $\cos^2 \alpha (tg \alpha + 2)(2 tg \alpha + 1) = 5 \sin \alpha \cos \alpha + 2.$

Для найденных углов $\alpha$ докажите справедливость равенства.

Задача состоит в том, чтобы найти все углы $α$, для которых выражения в обеих частях равенств имеют смысл, а затем доказать справедливость этих равенств для найденных углов.

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ).

Обе части равенства имеют смысл, если определены все входящие в них тригонометрические функции. Функция $cos^2α$ определена для любого угла $α$. Функция $ctg^2α$ определена тогда, когда определен $ctgα = \frac{cosα}{sinα}$, то есть при условии, что знаменатель не равен нулю: $sinα ≠ 0$.

Условие $sinα ≠ 0$ выполняется для всех углов $α$, кроме тех, для которых $α = πk$, где $k$ — любое целое число ($k ∈ Z$).

Таким образом, область допустимых значений для данного равенства: $α ≠ πk, k ∈ Z$.

2. Доказательство равенства.

Преобразуем левую часть равенства, используя определение котангенса, для всех $α$ из ОДЗ:

$ctg^2α - cos^2α = \frac{cos^2α}{sin^2α} - cos^2α$

Вынесем общий множитель $cos^2α$ за скобки:

$cos^2α \left( \frac{1}{sin^2α} - 1 \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$cos^2α \left( \frac{1 - sin^2α}{sin^2α} \right)$

Согласно основному тригонометрическому тождеству $sin^2α + cos^2α = 1$, имеем $1 - sin^2α = cos^2α$. Подставим это в наше выражение:

$cos^2α \left( \frac{cos^2α}{sin^2α} \right)$

Поскольку $\frac{cos^2α}{sin^2α} = ctg^2α$, получаем:

$cos^2α \cdot ctg^2α = ctg^2α cos^2α$

Левая часть тождественно равна правой. Следовательно, равенство доказано для всех углов $α$, при которых оно имеет смысл.

Ответ: Равенство имеет смысл и является верным для всех углов $α$ таких, что $α ≠ πk$, где $k ∈ Z$.

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ).

Равенство имеет смысл, если определены все функции в его составе. Функции $sinα$ и $cosα$ определены для любых $α$. Функция $tgα = \frac{sinα}{cosα}$ определена тогда, когда ее знаменатель не равен нулю: $cosα ≠ 0$.

Условие $cosα ≠ 0$ выполняется для всех углов $α$, кроме тех, для которых $α = \frac{π}{2} + πk$, где $k$ — любое целое число ($k ∈ Z$).

Таким образом, область допустимых значений для данного равенства: $α ≠ \frac{π}{2} + πk, k ∈ Z$.

2. Доказательство равенства.

Преобразуем левую часть равенства для всех $α$ из ОДЗ. Сначала раскроем скобки с тангенсами:

$(tgα + 2)(2tgα + 1) = 2tg^2α + tgα + 4tgα + 2 = 2tg^2α + 5tgα + 2$

Теперь умножим полученное выражение на $cos^2α$:

$cos^2α(2tg^2α + 5tgα + 2)$

Подставим определение тангенса $tgα = \frac{sinα}{cosα}$:

$cos^2α \left( 2\frac{sin^2α}{cos^2α} + 5\frac{sinα}{cosα} + 2 \right)$

Раскроем скобки, умножив $cos^2α$ на каждый член внутри. Поскольку мы работаем в ОДЗ, где $cosα ≠ 0$, мы можем сокращать:

$2 \cdot cos^2α \frac{sin^2α}{cos^2α} + 5 \cdot cos^2α \frac{sinα}{cosα} + 2 \cdot cos^2α = 2sin^2α + 5sinαcosα + 2cos^2α$

Сгруппируем слагаемые:

$(2sin^2α + 2cos^2α) + 5sinαcosα$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(sin^2α + cos^2α) + 5sinαcosα$

Применяя основное тригонометрическое тождество $sin^2α + cos^2α = 1$, получаем:

$2 \cdot 1 + 5sinαcosα = 2 + 5sinαcosα$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, равенство доказано для всех углов $α$, при которых оно имеет смысл.

Ответ: Равенство имеет смысл и является верным для всех углов $α$ таких, что $α ≠ \frac{π}{2} + πk$, где $k ∈ Z$.

Текстовые задачи

1185. a) В нашем классе 32 человека. 23 человека любят кошек, 18 человек — собак. Причём 10 человек любят и кошек, и собак. Сколько человек нашего класса не любят ни кошек, ни собак?

б) В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, в кино и музей — 6 человек, а 2 человека не ходили ни в кино, ни в музей. Сколько человек нашего класса ходили в кино?

а)

Для решения этой задачи воспользуемся теорией множеств. Пусть $К$ — это множество учеников, которые любят кошек, а $С$ — множество учеников, которые любят собак. По условию задачи, всего в классе 32 человека, из них 23 любят кошек ($|К|=23$), 18 любят собак ($|С|=18$), и 10 любят и кошек, и собак ($|К \cap С|=10$).

Сначала определим, сколько всего учеников любят хотя бы одно из этих животных. Это количество равно мощности объединения множеств $К$ и $С$. Для его нахождения применим формулу включений-исключений: $|К \cup С| = |К| + |С| - |К \cap С|$. Подставив данные из условия, получим: $|К \cup С| = 23 + 18 - 10 = 31$. Итак, 31 ученик любит кошек, или собак, или и тех и других.

Чтобы найти количество учеников, которые не любят ни кошек, ни собак, необходимо из общего числа учеников в классе вычесть число учеников, которые любят хотя бы одно животное: $32 - |К \cup С| = 32 - 31 = 1$.

Ответ: 1 человек.

б)

Пусть $М$ — множество учащихся, которые ходили в музей, а $К$ — множество учащихся, которые ходили в кино. По условию, всего в классе 30 учащихся. Известно, что в музей ходили 23 человека ($|М|=23$), и в кино, и в музей ходили 6 человек ($|К \cap М|=6$), а 2 человека не ходили ни в кино, ни в музей.

Сначала найдем общее количество учащихся, которые посетили хотя бы одно из этих мест (кино или музей). Для этого из общего числа учащихся вычтем тех, кто никуда не ходил: $|К \cup М| = 30 - 2 = 28$. Таким образом, 28 учащихся были либо в кино, либо в музее, либо и там, и там.

Теперь мы можем найти количество учащихся, которые ходили в кино ($|К|$), используя формулу включений-исключений: $|К \cup М| = |К| + |М| - |К \cap М|$. Подставим в нее известные нам значения: $28 = |К| + 23 - 6$. Упростим правую часть уравнения: $28 = |К| + 17$.

Остается решить это простое уравнение относительно $|К|$: $|К| = 28 - 17 = 11$.

Ответ: 11 человек.