Номер 1182, страница 293 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1182. Докажите, что если $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы треугольника, то справедливы равенства и неравенство:

a) $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4\cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \cos\frac{\gamma}{2}$;

б) $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 4\sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \sin\frac{\gamma}{2} + 1$;

в) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma > 2$, где $\alpha < 90^\circ$, $\beta < 90^\circ$, $\gamma < 90^\circ$.

Поскольку $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ являются углами треугольника, их сумма равна $180^\circ$ или $\pi$ радиан:
$\alpha + \beta + \gamma = \pi$.
Из этого следуют полезные соотношения:
$\alpha + \beta = \pi - \gamma$
$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$

а)

Докажем равенство $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}$.

Преобразуем левую часть равенства. Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы синусов:
$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Используя соотношение $\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$, получим:
$2 \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) \cos\frac{\alpha-\beta}{2} = 2 \cos\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Теперь всё выражение для левой части выглядит так:
$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 2 \cos\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \sin \gamma$.

Применим формулу синуса двойного угла для $\sin \gamma$: $\sin \gamma = 2 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\gamma}{2}$.
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 2 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\gamma}{2}$.

Вынесем общий множитель $2 \cos\frac{\gamma}{2}$ за скобки:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \sin\frac{\gamma}{2}\right)$.

Заменим $\sin\frac{\gamma}{2}$ используя $\frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}$:
$\sin\frac{\gamma}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}\right) = \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.

Подставим это в скобки:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$.

К выражению в скобках применим формулу суммы косинусов:
$\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2} = 2 \cos\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}}{2}\right) = 2 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2}$.

Подставив результат в наше выражение, получаем:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left(2 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2}\right) = 4 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \cos\frac{\gamma}{2}$.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Докажем равенство $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 4\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} + 1$.

Преобразуем левую часть. Применим формулу суммы косинусов к первым двум слагаемым:
$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Используя $\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$, получаем:
$2 \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) \cos\frac{\alpha-\beta}{2} = 2 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Выражение для левой части принимает вид:
$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 2 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos \gamma$.

Представим $\cos \gamma$ по формуле двойного угла: $\cos \gamma = 1 - 2\sin^2\frac{\gamma}{2}$.
$2 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 1 - 2\sin^2\frac{\gamma}{2}$.

Сгруппируем слагаемые и вынесем $2 \sin\frac{\gamma}{2}$ за скобки:
$1 + 2 \sin\frac{\gamma}{2} \left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \sin\frac{\gamma}{2}\right)$.

Заменим $\sin\frac{\gamma}{2}$ на $\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:
$1 + 2 \sin\frac{\gamma}{2} \left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$.

К выражению в скобках применим формулу разности косинусов:
$\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2} = -2 \sin\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right) \sin\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right) = -2 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\left(-\frac{\beta}{2}\right) = 2 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2}$.

Подставив результат в наше выражение, получаем:
$1 + 2 \sin\frac{\gamma}{2} \left(2 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2}\right) = 1 + 4 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \sin\frac{\gamma}{2}$.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

в)

Докажем неравенство $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma > 2$, где $\alpha < 90^\circ$, $\beta < 90^\circ$, $\gamma < 90^\circ$.

Условие означает, что треугольник остроугольный. Сначала докажем тождество: $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 2 + 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$.

Преобразуем левую часть. Воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$:
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} + \frac{1 - \cos(2\beta)}{2} + 1 - \cos^2\gamma$
$= \frac{3}{2} - \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \cos(2\beta)) - \cos^2\gamma$.

Применим формулу суммы косинусов: $\cos(2\alpha) + \cos(2\beta) = 2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$.
Подставим это в выражение: $\frac{3}{2} - \cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) - \cos^2\gamma$.

Так как $\alpha + \beta = \pi - \gamma$, то $\cos(\alpha+\beta) = \cos(\pi-\gamma) = -\cos\gamma$.
Выражение примет вид: $\frac{3}{2} - (-\cos\gamma)\cos(\alpha-\beta) - \cos^2\gamma = \frac{3}{2} + \cos\gamma\cos(\alpha-\beta) - \cos^2\gamma$.

Это не тот путь. Вернемся к более простому варианту.

$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 2 + \cos\gamma(\cos(\alpha-\beta) - \cos\gamma)$.
Заменим $\cos\gamma$ на $-\cos(\alpha+\beta)$:
$2 + \cos\gamma(\cos(\alpha-\beta) - (-\cos(\alpha+\beta))) = 2 + \cos\gamma(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta))$.

Выражение в скобках по формуле суммы косинусов равно $2\cos\alpha\cos\beta$.
Таким образом, мы доказали тождество:
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 2 + 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$.

Теперь докажем неравенство $2 + 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma > 2$.
Это неравенство эквивалентно $2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma > 0$, или $\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma > 0$.

По условию, все углы треугольника острые: $0 < \alpha < 90^\circ$, $0 < \beta < 90^\circ$, $0 < \gamma < 90^\circ$.
Для любого угла $x$ в интервале $(0, 90^\circ)$ его косинус положителен: $\cos x > 0$.
Следовательно, $\cos\alpha > 0$, $\cos\beta > 0$ и $\cos\gamma > 0$.

Произведение трех положительных чисел также положительно: $\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma > 0$.
Значит, $2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma > 0$, и, следовательно, $2 + 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma > 2$.
Таким образом, мы доказали, что $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma > 2$.

Ответ: Неравенство доказано.