Номер 1175, страница 292 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1175. Вычислите:

a) $\frac{\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)\left(\operatorname{tg}(-\pi) - \cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right)}{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3} - 10\pi\right)\cos\left(-\frac{2\pi}{3} + 10\pi\right)};$

б) $\frac{\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right)\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right)}{\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\cos\frac{3\pi}{4}}.$

а) Вычислим значение выражения: $ \frac{\ctg(-\frac{\pi}{4})(\tg(-\pi) - \cos(-\frac{5\pi}{6}))}{\tg(\frac{\pi}{3} - 10\pi)\cos(-\frac{2\pi}{3} + 10\pi)} $
Для этого упростим каждый множитель, используя свойства четности/нечетности и периодичности тригонометрических функций.
Свойства: $ \cos(-x) = \cos(x) $, $ \ctg(-x) = -\ctg(x) $, $ \tg(-x) = -\tg(x) $.
Периоды: для тангенса и котангенса период равен $ \pi $, для синуса и косинуса — $ 2\pi $.

Вычислим числитель: $ \ctg(-\frac{\pi}{4})(\tg(-\pi) - \cos(-\frac{5\pi}{6})) $
1. $ \ctg(-\frac{\pi}{4}) = -\ctg(\frac{\pi}{4}) = -1 $
2. $ \tg(-\pi) = -\tg(\pi) = 0 $
3. $ \cos(-\frac{5\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $
Подставляем значения в числитель: $ -1 \cdot (0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})) = -1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Вычислим знаменатель: $ \tg(\frac{\pi}{3} - 10\pi)\cos(-\frac{2\pi}{3} + 10\pi) $
1. $ \tg(\frac{\pi}{3} - 10\pi) = \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} $ (так как период тангенса $ \pi $, а $ 10\pi $ - целое число периодов).
2. $ \cos(-\frac{2\pi}{3} + 10\pi) = \cos(-\frac{2\pi}{3}) $ (так как период косинуса $ 2\pi $, а $ 10\pi = 5 \cdot 2\pi $ - целое число периодов).
$ \cos(-\frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $
Подставляем значения в знаменатель: $ \sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь найдем значение всей дроби:
$ \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = 1 $

Ответ: 1

б) Вычислим значение выражения: $ \frac{\tg(-\frac{\pi}{3})\tg(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6})}{\cos(-\frac{\pi}{2}) + \sin(-\frac{\pi}{4})\cos(\frac{3\pi}{4})} $
Упростим каждый член выражения по отдельности.

Вычислим числитель: $ \tg(-\frac{\pi}{3})\tg(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) $
1. $ \tg(-\frac{\pi}{3}) = -\tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} $
2. $ \tg(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) = \tg(-(\frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6})) = \tg(-\frac{4\pi}{6}) = \tg(-\frac{2\pi}{3}) $
Используя нечетность и периодичность тангенса: $ \tg(-\frac{2\pi}{3}) = -\tg(\frac{2\pi}{3}) = -\tg(\pi - \frac{\pi}{3}) = -(-\tg(\frac{\pi}{3})) = \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} $
Подставляем значения в числитель: $ -\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = -3 $

Вычислим знаменатель: $ \cos(-\frac{\pi}{2}) + \sin(-\frac{\pi}{4})\cos(\frac{3\pi}{4}) $
1. $ \cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $
2. $ \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
3. $ \cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
Подставляем значения в знаменатель: $ 0 + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Теперь найдем значение всей дроби:
$ \frac{-3}{\frac{1}{2}} = -3 \cdot 2 = -6 $

Ответ: -6