Номер 1178, страница 293 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1178. Найдите $tg(\alpha + \beta)$ и $tg(\alpha - \beta)$, если $sin \alpha = 0,6$, $cos \beta = -\frac{12}{13}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$.

Для решения задачи нам необходимо найти значения $tg \alpha$ и $tg \beta$, а затем использовать формулы тангенса суммы и разности углов.

Сначала найдем $tg \alpha$. Дано, что $sin \alpha = 0,6 = \frac{3}{5}$ и угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, что соответствует второй координатной четверти. Во второй четверти косинус отрицателен.

Найдем $cos \alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.

Поскольку $cos \alpha < 0$, получаем $cos \alpha = -\sqrt{0,64} = -0,8 = -\frac{4}{5}$.

Теперь вычислим $tg \alpha$:

$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{0,6}{-0,8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$.

Далее найдем $tg \beta$. Дано, что $cos \beta = -\frac{12}{13}$ и угол $\beta$ находится в интервале $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей координатной четверти. В третьей четверти синус отрицателен, а тангенс положителен.

Найдем $sin \beta$ из основного тригонометрического тождества:

$sin^2\beta = 1 - cos^2\beta = 1 - (-\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$.

Поскольку $sin \beta < 0$, получаем $sin \beta = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.

Теперь вычислим $tg \beta$:

$tg \beta = \frac{sin \beta}{cos \beta} = \frac{-5/13}{-12/13} = \frac{5}{12}$.

Теперь у нас есть все необходимые значения: $tg \alpha = -\frac{3}{4}$ и $tg \beta = \frac{5}{12}$.

tg(α + β)

Воспользуемся формулой тангенса суммы: $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha \cdot tg \beta}$.

Подставляем наши значения:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{-\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - (-\frac{3}{4}) \cdot \frac{5}{12}} = \frac{\frac{-9 + 5}{12}}{1 + \frac{15}{48}} = \frac{-\frac{4}{12}}{1 + \frac{5}{16}} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{16+5}{16}} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{21}{16}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{16}{21} = -\frac{16}{63}$.

Ответ: $tg(\alpha + \beta) = -\frac{16}{63}$.

tg(α - β)

Воспользуемся формулой тангенса разности: $tg(\alpha - \beta) = \frac{tg \alpha - tg \beta}{1 + tg \alpha \cdot tg \beta}$.

Подставляем наши значения:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{-\frac{3}{4} - \frac{5}{12}}{1 + (-\frac{3}{4}) \cdot \frac{5}{12}} = \frac{\frac{-9 - 5}{12}}{1 - \frac{15}{48}} = \frac{-\frac{14}{12}}{1 - \frac{5}{16}} = \frac{-\frac{7}{6}}{\frac{16-5}{16}} = \frac{-\frac{7}{6}}{\frac{11}{16}} = -\frac{7}{6} \cdot \frac{16}{11} = -\frac{7 \cdot 8}{3 \cdot 11} = -\frac{56}{33}$.

Ответ: $tg(\alpha - \beta) = -\frac{56}{33}$.