Номер 1173, страница 292 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1173. а) Найдите $\sin \alpha, \cos \alpha$ и $\operatorname{ctg} \alpha$, если $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{3}{4}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

б) Найдите $\cos \beta, \sin \beta$ и $\operatorname{tg} \beta$, если $\operatorname{ctg} \beta = 2$ и $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$.

а) Нам дано, что $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится во второй координатной четверти. Во второй четверти синус положителен ($\sin \alpha > 0$), а косинус отрицателен ($\cos \alpha < 0$).

1. Найдем котангенс. Котангенс и тангенс — взаимно обратные величины:

$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{-3/4} = -\frac{4}{3}$.

2. Найдем косинус, используя основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и косинус: $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

$1 + (-\frac{3}{4})^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{16}{16} + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$.

Таким образом, $\frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{25}{16}$, откуда следует, что $\cos^2 \alpha = \frac{16}{25}$.

Извлекаем квадратный корень: $\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}$.

Поскольку угол $\alpha$ находится во второй четверти, его косинус отрицателен. Значит, выбираем знак "минус": $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$.

3. Найдем синус, используя определение тангенса $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

$\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = (-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{4}{5}) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.

Значение синуса положительно, что соответствует второй четверти.

Ответ: $\sin \alpha = \frac{3}{5}$, $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$, $\cot \alpha = -\frac{4}{3}$.

б) Нам дано, что $\cot \beta = 2$ и $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол $\beta$ находится в третьей координатной четверти. В третьей четверти и синус, и косинус отрицательны ($\sin \beta < 0$, $\cos \beta < 0$).

1. Найдем тангенс. Тангенс и котангенс — взаимно обратные величины:

$\tan \beta = \frac{1}{\cot \beta} = \frac{1}{2}$.

2. Найдем синус, используя основное тригонометрическое тождество, связывающее котангенс и синус: $1 + \cot^2 \beta = \frac{1}{\sin^2 \beta}$.

$1 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

Таким образом, $\frac{1}{\sin^2 \beta} = 5$, откуда следует, что $\sin^2 \beta = \frac{1}{5}$.

Извлекаем квадратный корень: $\sin \beta = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Поскольку угол $\beta$ находится в третьей четверти, его синус отрицателен. Значит, выбираем знак "минус": $\sin \beta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$.

3. Найдем косинус, используя определение котангенса $\cot \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$:

$\cos \beta = \cot \beta \cdot \sin \beta = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{5}}{5}) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Значение косинуса отрицательно, что соответствует третьей четверти.

Ответ: $\cos \beta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\sin \beta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$, $\tan \beta = \frac{1}{2}$.