Номер 1179, страница 293 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1179. Найдите $tg(\alpha + \beta)$ и $tg(\alpha - \beta)$, если $tg \alpha = \frac{1}{2}$, $sin \beta = 0,8$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$.

Для решения этой задачи нам нужно найти значение $tg \beta$, а затем использовать формулы тангенса суммы и разности углов.

Дано: $tg \alpha = \frac{1}{2}$, $sin \beta = 0,8$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$.

1. Найдем $tg \beta$.

Сначала представим $sin \beta$ в виде обыкновенной дроби: $sin \beta = 0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 \beta + cos^2 \beta = 1$, чтобы найти $cos \beta$.

$cos^2 \beta = 1 - sin^2 \beta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25-16}{25} = \frac{9}{25}$.

Поскольку по условию $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ (угол $\beta$ находится в I четверти), значение косинуса будет положительным.

$cos \beta = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

Теперь найдем тангенс угла $\beta$ по формуле $tg \beta = \frac{sin \beta}{cos \beta}$.

$tg \beta = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.

2. Найдем $tg(\alpha + \beta)$ и $tg(\alpha - \beta)$.

Теперь, имея значения $tg \alpha = \frac{1}{2}$ и $tg \beta = \frac{4}{3}$, мы можем использовать формулы сложения и вычитания для тангенса.

tg(α + β)

Используем формулу тангенса суммы: $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha \cdot tg \beta}$.

$tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{4}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}} = \frac{\frac{3}{6} + \frac{8}{6}}{1 - \frac{4}{6}} = \frac{\frac{11}{6}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{11}{6}}{\frac{1}{3}} = \frac{11}{6} \cdot 3 = \frac{11}{2} = 5,5$.

Ответ: $5,5$.

tg(α - β)

Используем формулу тангенса разности: $tg(\alpha - \beta) = \frac{tg \alpha - tg \beta}{1 + tg \alpha \cdot tg \beta}$.

$tg(\alpha - \beta) = \frac{\frac{1}{2} - \frac{4}{3}}{1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}} = \frac{\frac{3}{6} - \frac{8}{6}}{1 + \frac{4}{6}} = \frac{-\frac{5}{6}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{-\frac{5}{6}}{\frac{5}{3}} = -\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} = -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.