Номер 1181, страница 293 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем (1181–1183).

1181. Докажите справедливость равенства:

а) $ \sin 10^{\circ} \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} = \frac{1}{8}; $

б) $ \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 80^{\circ} = \frac{1}{8}; $

в) $ \sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4} \operatorname{tg} \frac{\pi}{5}; $

г) $ \sin 18^{\circ} \cos 36^{\circ} = \frac{1}{4}. $

а) Для доказательства равенства $ \sin 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{8} $ преобразуем его левую часть. Умножим и разделим выражение на $ 2\cos 10^\circ $ и последовательно применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

$ \sin 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{2\sin 10^\circ \cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{2\cos 10^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 10^\circ) \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{2\cos 10^\circ} = \frac{\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{2\cos 10^\circ} $
Снова применим ту же идею, умножив числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{2\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{4\cos 10^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 20^\circ) \cos 40^\circ}{4\cos 10^\circ} = \frac{\sin 40^\circ \cos 40^\circ}{4\cos 10^\circ} $
И еще раз:
$ \frac{2\sin 40^\circ \cos 40^\circ}{8\cos 10^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 40^\circ)}{8\cos 10^\circ} = \frac{\sin 80^\circ}{8\cos 10^\circ} $
Используем формулу приведения $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha $. Для $ \alpha = 10^\circ $, получаем $ \sin 80^\circ = \sin(90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ $.
Подставив это значение, получим:
$ \frac{\cos 10^\circ}{8\cos 10^\circ} = \frac{1}{8} $
Таким образом, левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

б) Для доказательства равенства $ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8} $ преобразуем его левую часть. Умножим и разделим выражение на $ 2\sin 20^\circ $ и будем использовать формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

$ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{2\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 20^\circ) \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ} = \frac{\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ} $
Снова умножим числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{2\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{4\sin 20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 40^\circ) \cos 80^\circ}{4\sin 20^\circ} = \frac{\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{4\sin 20^\circ} $
И еще раз:
$ \frac{2\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{8\sin 20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 80^\circ)}{8\sin 20^\circ} = \frac{\sin 160^\circ}{8\sin 20^\circ} $
Используем формулу приведения $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha $. Для $ \alpha = 20^\circ $, получаем $ \sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ $.
Подставив это значение, получим:
$ \frac{\sin 20^\circ}{8\sin 20^\circ} = \frac{1}{8} $
Таким образом, левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

в) Для доказательства равенства $ \sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4} \tg \frac{\pi}{5} $ преобразуем его левую часть.

Умножим и разделим левую часть на $ 4\cos(\frac{\pi}{5}) $.
$ \sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{2\pi}{5} = \frac{4\sin(\frac{\pi}{5})\cos(\frac{\pi}{5})\cos(\frac{2\pi}{5})}{4\cos(\frac{\pi}{5})} $
В числителе применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $ дважды:
$ \frac{2 \cdot (2\sin(\frac{\pi}{5})\cos(\frac{\pi}{5})) \cos(\frac{2\pi}{5})}{4\cos(\frac{\pi}{5})} = \frac{2 \sin(\frac{2\pi}{5}) \cos(\frac{2\pi}{5})}{4\cos(\frac{\pi}{5})} = \frac{\sin(2 \cdot \frac{2\pi}{5})}{4\cos(\frac{\pi}{5})} = \frac{\sin(\frac{4\pi}{5})}{4\cos(\frac{\pi}{5})} $
Используем формулу приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha $:
$ \sin(\frac{4\pi}{5}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{5}) = \sin(\frac{\pi}{5}) $
Подставим это в наше выражение:
$ \frac{\sin(\frac{\pi}{5})}{4\cos(\frac{\pi}{5})} $
Используя определение тангенса $ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, получаем:
$ \frac{1}{4} \tg \frac{\pi}{5} $
Мы показали, что левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

г) Для доказательства равенства $ \sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4} $ преобразуем его левую часть.

Умножим и разделим выражение на $ 2\cos 18^\circ $ и применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.
$ \sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{2\sin 18^\circ \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ}{2\cos 18^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 18^\circ) \cos 36^\circ}{2\cos 18^\circ} = \frac{\sin 36^\circ \cos 36^\circ}{2\cos 18^\circ} $
Снова умножим числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{2\sin 36^\circ \cos 36^\circ}{4\cos 18^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 36^\circ)}{4\cos 18^\circ} = \frac{\sin 72^\circ}{4\cos 18^\circ} $
Используем формулу приведения $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha $.
$ \sin 72^\circ = \sin(90^\circ - 18^\circ) = \cos 18^\circ $
Подставим это в наше выражение:
$ \frac{\cos 18^\circ}{4\cos 18^\circ} = \frac{1}{4} $
Мы показали, что левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.