Номер 1187, страница 294 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1187. Имеется 7 телефонов, и каждый из них должен быть соединён только с тремя другими. Можно ли это сделать?

Для решения этой задачи воспользуемся методами теории графов. Представим телефоны как вершины графа, а соединения между ними — как рёбра.

По условию у нас есть 7 телефонов, то есть 7 вершин в графе ($n = 7$). Каждый телефон должен быть соединён ровно с тремя другими. Это означает, что из каждой вершины должно выходить ровно три ребра, то есть степень каждой вершины графа должна быть равна 3.

В теории графов есть фундаментальное свойство, известное как лемма о рукопожатиях. Она утверждает, что сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству рёбер в нём. Математически это выражается так: $\sum \deg(v) = 2E$ где $\deg(v)$ — степень вершины $v$, а $E$ — общее число рёбер в графе.

Давайте вычислим сумму степеней вершин для нашего случая. У нас 7 вершин, и степень каждой из них равна 3. Сумма степеней = $7 \times 3 = 21$.

Согласно лемме о рукопожатиях, эта сумма должна быть равна $2E$. Таким образом, мы получаем уравнение: $2E = 21$.

Из этого уравнения следует, что количество рёбер $E$ должно быть равно $21 / 2 = 10.5$. Однако количество рёбер в графе по определению может быть только целым числом. Невозможно иметь половину ребра.

Другое следствие из леммы о рукопожатиях заключается в том, что в любом графе количество вершин с нечётной степенью должно быть чётным. В нашей задаче все 7 вершин должны иметь нечётную степень (степень 3). Число 7 — нечётное, что противоречит этому свойству.

Таким образом, создать такую схему соединений невозможно.

Ответ: Нет, это сделать невозможно.