Номер 1194, страница 294 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

1194. Один сплав состоит из двух металлов, входящих в него в отношении $1:2$, а другой содержит те же металлы в отношении $2:1$. Сколько частей каждого сплава надо взять, чтобы получить третий сплав, содержащий $50\%$ каждого металла?

Пусть Металл 1 и Металл 2 – это два металла, из которых состоят сплавы.

Первый сплав:
Соотношение Металла 1 к Металлу 2 равно 1:2. Это значит, что на 1 часть Металла 1 приходится 2 части Металла 2. Общее количество частей в сплаве равно $1 + 2 = 3$.
Таким образом, доля (концентрация) Металла 1 в первом сплаве составляет $\frac{1}{3}$, а доля Металла 2 – $\frac{2}{3}$.

Второй сплав:
Соотношение Металла 1 к Металлу 2 равно 2:1. Это значит, что на 2 части Металла 1 приходится 1 часть Металла 2. Общее количество частей в сплаве равно $2 + 1 = 3$.
Таким образом, доля (концентрация) Металла 1 во втором сплаве составляет $\frac{2}{3}$, а доля Металла 2 – $\frac{1}{3}$.

Третий (итоговый) сплав:
Требуется получить сплав, в котором содержание каждого металла составляет 50%, то есть $\frac{1}{2}$.

Пусть для получения нового сплава мы взяли $x$ частей первого сплава и $y$ частей второго сплава. Тогда общая масса нового сплава составит $x + y$ частей.

Составим уравнение баланса для Металла 1.
Масса Металла 1, взятая из первого сплава, равна $\frac{1}{3}x$.
Масса Металла 1, взятая из второго сплава, равна $\frac{2}{3}y$.
Общая масса Металла 1 в новом сплаве будет суммой этих масс: $\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}y$.

По условию, масса Металла 1 в новом сплаве должна составлять 50% от его общей массы, то есть $\frac{1}{2}(x+y)$.
Приравняем два выражения для массы Металла 1:
$\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}y = \frac{1}{2}(x+y)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти соотношение между $x$ и $y$. Умножим обе части уравнения на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3), чтобы избавиться от дробей:
$6 \cdot (\frac{1}{3}x) + 6 \cdot (\frac{2}{3}y) = 6 \cdot \frac{1}{2}(x+y)$
$2x + 4y = 3(x+y)$
$2x + 4y = 3x + 3y$

Сгруппируем переменные $x$ на одной стороне, а $y$ на другой:
$4y - 3y = 3x - 2x$
$y = x$

Равенство $x = y$ означает, что количество частей первого и второго сплавов должно быть одинаковым. То есть, их нужно взять в отношении 1:1.

Ответ: для получения третьего сплава необходимо взять равные части каждого из двух исходных сплавов (в соотношении 1:1).